冪乗和と第2種スターリング数の関係
\[
\sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)
\]
カテゴリー: 離散関数
微分演算子とスターリング数
\[
x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}
\]
最大個数制限付きの分割数の漸化式
\[
p_{1}\left(n,k,m\right)=p_{1}\left(n,k-1,m\right)+p_{1}\left(n-k,k,m\right)-p_{1}\left(n-k-m,k-1,m\right)
\]
分割数の簡単な値
\[
p\left(n,2\right)=1+\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor
\]
分割数の漸化式
\[
p\left(n,k\right)=p\left(n,k-1\right)+p\left(n-k,k\right)
\]
空箱あり・なしの分割数の定義
\[
q\left(n,k\right)=p\left(n-k,k\right)
\]
3階のエディントン・イプシロンの性質
\[
\epsilon_{ijk}=\det\left(\begin{array}{ccc}
\delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k}\\
\delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k}\\
\delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k}
\end{array}\right)
\]
レヴィ・チヴィタ・イプシロンの定義
\[
\epsilon_{ijk}=\begin{cases}
+1 & even\\
-1 & odd\\
0 & etc
\end{cases}
\]
ハイパー調和数の性質
\[
H_{n}^{\left(1\right)}=H_{n}
\]
ハイパー調和数の定義
\[
H_{n}^{\left(r\right)}:=\begin{cases}
\frac{1}{n} & r=0\\
\sum_{k=1}^{n}H_{k}^{\left(r-1\right)} & r\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
クロネッカーのデルタを含む総和
\[
\sum_{j=0}^{n}\delta_{kj}=1-\sum_{j=0}^{k-1}\delta_{nj}
\]
調和数の相反公式
\[
H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}
\]
調和数の2項係数展開
\[
H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right)
\]
調和数・一般化調和数の乗法公式
\[
H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}
\]
調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開
\[
\frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right)
\]
調和数・一般化調和数の積分
\[
\int H_{z}dz=\log\Gamma\left(z+1\right)+\gamma z+C
\]
一般化調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right)
\]
調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2}}=2-2\log2
\]
調和数と一般化調和数の拡張
\[
H_{z,m}=\zeta\left(m\right)-\zeta\left(m,z+1\right)
\]
調和数・一般化調和数を含む総和
\[
\sum_{k=1}^{n}H_{k,m}=\left(n+1\right)H_{n,m}-H_{n,m-1}
\]
調和数・一般化調和数の定義
\[
H_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}
\]
ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係
\[
\delta_{1,n}=\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)B_{n}
\]
2項変換とオイラー数
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)b_{n-2k}
\]
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)E_{2k}a_{n-2k}
\]
タンジェント数・オイラー数・ベルヌーイ数の関係
\[
\begin{cases}
T_{2k-1}=\left(-1\right)^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}C\left(2k-1,2j\right)E_{2j} & k\in\mathbb{N}\\
T_{2k}=0 & k\in\mathbb{N}_{0}
\end{cases}
\]
オイラー数の総和
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(2n,2k\right)E_{2k}
\]
オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義
\[
\cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k}
\]
2項変換とベルヌーイ数
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}a_{n-k}
\]
ベルヌーイ数の一般項
\[
B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{n}\sum_{j=k}^{n}\frac{C\left(j,k\right)}{j+1}
\]
(*)ベルヌーイ数の総和と漸化式
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n+1,k\right)B_{k}
\]
奇数ベルヌーイ数
\[
B_{2n-1}=-\frac{1}{2}\delta_{1,n}
\]