2項変換とオイラー数
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)b_{n-2k}
\]
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)E_{2k}a_{n-2k}
\]
カテゴリー: 離散関数
タンジェント数・オイラー数・ベルヌーイ数の関係
\[
\begin{cases}
T_{2k-1}=\left(-1\right)^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}C\left(2k-1,2j\right)E_{2j} & k\in\mathbb{N}\\
T_{2k}=0 & k\in\mathbb{N}_{0}
\end{cases}
\]
オイラー数の総和
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(2n,2k\right)E_{2k}
\]
オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義
\[
\cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k}
\]
2項変換とベルヌーイ数
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}a_{n-k}
\]
ベルヌーイ数の一般項
\[
B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{n}\sum_{j=k}^{n}\frac{C\left(j,k\right)}{j+1}
\]
(*)ベルヌーイ数の総和と漸化式
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n+1,k\right)B_{k}
\]
奇数ベルヌーイ数
\[
B_{2n-1}=-\frac{1}{2}\delta_{1,n}
\]
ベルヌーイ数の定義
\[
\frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k}
\]
フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[
\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}
\]
フィボナッチ数の負整数での値
\[
F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n}
\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[
F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}
\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[
F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[
\left(\begin{array}{cc}
F_{n+1} & F_{n}\\
F_{n} & F_{n-1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1
\]
フィボナッチ数列の商の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi
\]
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
\[
F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\}
\]
フィボナッチ数列と2項係数
\[
F_{n+1}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)
\]
フィボナッチ数列の組み合せ論的解釈
$n$段の階段を1段または2段ずつ登るときの登り方は$F_{n+1}$通り。
フィボナッチ数列の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}}
\]
フィボナッチ数列の定義
\[
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
\]
カタラン数の漸化式
\[
C_{n+1}=\frac{2\left(2n+1\right)}{n+2}C_{n}
\]
カタラン数の別表現
\[
C_{n}=\frac{1}{n+1}C\left(2n,n\right)
\]
カタラン数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}x^{k}=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
\]
カタラン数の定義
\[
C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{k}C_{n-k}
\]
クロネッカーのデルタの微分表示
\[
\delta_{j,k}=\frac{1}{k!}\left[\frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}}x^{k}\right]_{x\rightarrow0}
\]
(*)スターリング数と2項係数
\[
C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k
\]
スターリング数の母関数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!}
\]
スターリング数の解釈
\[
\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n-k}\leq n-1}\prod_{j=1}^{n-k}a_{j}
\]