スターリング数の簡単な値
\[
S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}
\]
カテゴリー: 離散関数
スターリング数とベルヌーイ数の関係
\[
\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}S_{1}\left(m+1,k+1\right)B_{k}=\frac{1}{m+1}
\]
第1種・第2種スターリング数の性質
\[
\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=n!
\]
スターリング数と上昇・下降階乗
\[
Q\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]
スターリング数の逆行列
\[
\delta_{nj}=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)
\]
第2種スターリング数の一般解
\[
S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}
\]
(*)スターリング数の漸化式
\[
S_{1}\left(n,k\right)=S_{1}\left(n-1,k-1\right)-\left(n-1\right)S_{1}\left(n-1,k\right)
\]
第1種スターリング数の符号
\[
\left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)
\]
第1種スターリング数と第2種スターリング数の定義
\[
P\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]
異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right)
\]
分割数の定義と母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{k}}
\]
クロネッカーのデルタの表示
\[
\delta_{mn}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k+m}}{(m-k)!(k-n)!}
\]
クロネッカーのデルタの性質
\[
f(n)\delta_{mn}=f(m)\delta_{mn}
\]