ヘヴィサイド関数と符号
\[
H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right)
\]
カテゴリー: 関数
矩形関数の性質
\[
\mathrm{rect}\left(x\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)
\]
3角形関数の性質
\[
\mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right)
\]
のこぎり波の定義
\[
f\left(x\right):=x
\]
矩形波の定義
\[
f\left(x\right):=\begin{cases}
-1 & x<0\\
0 & x=0\\
1 & 0<x
\end{cases}
\]
矩形関数の定義
\[
\mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases}
1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\
0 & \frac{1}{2}<\left|x\right|
\end{cases}
\]
3角形関数の定義
\[
\mathrm{tri}\left(x\right):=\max\left(1-\left|x\right|,0\right)
\]
ディリクレ核の性質
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}\left(x\right)=2\pi\mathrm{comb}_{2\pi}\left(x\right)
\]
ディリクレ核の定義と別表示
\[
D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}
\]
デルタ関数の色々な表現
\[
\delta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk
\]
デルタ関数の性質
\[
\delta\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(x\right)
\]
デルタ関数の定義
\[
\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x\right)dx=f\left(0\right)
\]
逆3角関数と逆双曲線関数の主値と2乗のルート
\[
\sin^{\bullet}\sin z=z\Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z
\]
3角関数と逆3角関数・双曲線関数と逆双曲線関数の関係
\[
\sin^{\bullet}\sin z=z\Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z
\]
櫛型関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T}nx}
\]
櫛型関数の性質
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)
\]
櫛型関数の定義
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)
\]
3角関数・双曲線関数の総和
\[
\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)
\]
正接・双曲線正接の総和展開
\[
\tan\pi z=\frac{2z}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}-z^{2}}
\]
交代順列とジグザグ数
\[
\tan x+\cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{T}_{k}}{k!}x^{k}
\]
オイラー多項式の微分表示
\[
E_{n}\left(x\right)=\frac{2}{e^{D}+1}x_{n}
\]
(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係
\[
E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}
\]
オイラー多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}\left(x\right)}{k!}t^{k}=\frac{2e^{xt}}{e^{t}+1}
\]
(*)オイラー多項式の微分・積分
\[
E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right)
\]
(*)オイラー多項式の総和
\[
E_{n}\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(x\right)y^{n-k}
\]
オイラー多項式の性質
\[
E_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}E_{n}\left(x\right)
\]
(*)オイラー多項式の特殊値
\[
E_{n}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{E_{n}}{2^{n}}
\]
オイラー多項式の定義
\[
E_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k}
\]
ベルヌーイ多項式の微分表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\frac{D}{e^{D}-1}x^{n}
\]
(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
\[
P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right)
\]