2項係数の総和その他
\[
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{C\left(k-n,k\right)}{k}=-H_{n-1}
\]
カテゴリー: 関数
2項係数の関係その他
\[
C\left(\alpha,\beta\right)C\left(\beta,\gamma\right)=C\left(\alpha,\gamma\right)C\left(\alpha-\gamma,\beta-\gamma\right)
\]
ゼータ関数の通常型母関数
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\zeta\left(k\right)z^{k}=-z\left(\psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\gamma\right)
\]
ディガンマ関数の積分表示
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z-1}}{1-x}dx
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[
\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
不完全ベータ関数の性質
\[
B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}
\]
ベータ関数の特殊値
\[
B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}
\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[
B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)
\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)
\]
ベータ関数の対称性
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt
\]
一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理
\[
\sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right)
\]
超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
\[
F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}
\]
正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示
\[
\int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C
\]
3角関数のべき乗の積分の超幾何関数表示
\[
\int\sin^{\alpha}\left(x\right)dx=\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C
\]
一般化超幾何関数の微分と積分
\[
\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)
\]
基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[
\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)
\]
超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解
\[
x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0
\]
合流型超幾何微分方程式の解
\[
xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0
\]
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[
ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}
\]
上昇階乗・下降階乗の微分と極限
\[
\frac{d}{dx}Q\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)\left\{ \psi\left(x+y\right)-\psi\left(x\right)\right\}
\]
2項係数の第1引数と第2引数同士の総和
\[
\sum_{j=0}^{k-a}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j+a\right)C\left(j+b,c\right)=\begin{cases}
\left(-1\right)^{k-a}C\left(b-a,c-k\right) & a-b+c\leq k\\
0 & k<a-b+c
\end{cases}
\]
リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続)
\[
\zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right)
\]
リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値
\[
\zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1}
\]
リーマン・ゼータ関数の微分の極限
\[
\lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n!
\]
リーマン・ゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[
n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)
\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[
\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]