カテゴリー: 関数

デルタ関数

2025年4月4日

デルタ関数の性質

$$\delta \left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta \left(x\right)$$

デルタ関数

2025年4月3日

デルタ関数の定義

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx=f\left(0\right)$$

3角関数

2025年3月21日

逆3角関数と逆双曲線関数の主値と2乗のルート

$${\sin }^{\bullet }\sin z=z\Rightarrow \sqrt{{\cos }^{2}z}=\cos z$$

3角関数

2025年3月19日

3角関数と逆3角関数・双曲線関数と逆双曲線関数の関係

$${\sin }^{\bullet }\sin z=z\iff {\cos }^{\bullet }\cos (\frac{\pi }{2}-z)=\frac{\pi }{2}-z$$

櫛型関数

2025年3月14日

櫛型関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換

$${\mathrm{comb}}_T\left(x\right)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\frac{2\pi }{T}nx}$$

櫛型関数

2025年3月13日

櫛型関数の性質

$${\mathrm{comb}}_T\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}{\mathrm{comb}}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)$$

櫛型関数

2025年3月12日

櫛型関数の定義

$${\mathrm{comb}}_T\left(x\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-Tn)$$

3角関数

2025年3月10日

3角関数・双曲線関数の総和

$$\sum _{k=m_1}^{m_2}\sin (ak+b)={\sin }^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin ((m_1+m_2)\frac{a}{2}+b)\sin \left((1+m_2-m_1)\frac{a}{2}\right)$$

3角関数

2025年3月6日

正接・双曲線正接の総和展開

$$\tan \pi z=\frac{2z}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(k-\frac{1}{2})}^2-z^2}$$

その他関数

2025年1月30日

交代順列とジグザグ数

$$\tan x+{\cos }^{-1}x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\hat{T}}_k}{k!}{x}^k$$

オイラー多項式

2025年1月29日

オイラー多項式の微分表示

$$E_n\left(x\right)=\frac{2}{e^D+1}{x}_n$$

オイラー多項式

2025年1月28日

(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係

$$E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n}C(n,k)(1-2^k)B_k{x}^{n-k}$$

オイラー多項式

2025年1月27日

オイラー多項式の指数型母関数

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_k\left(x\right)}{k!}{t}^k=\frac{2e^{xt}}{e^t+1}$$

オイラー多項式

2025年1月24日

(*)オイラー多項式の微分・積分

$$E_n^{\left(k\right)}\left(x\right)=P(n,k)E_{n-k}\left(x\right)$$

オイラー多項式

2025年1月23日

(*)オイラー多項式の総和

$$E_n(x+y)=\sum _{k=0}^{n}C(n,k)E_k\left(x\right)y^{n-k}$$

オイラー多項式

2025年1月22日

オイラー多項式の性質

$$E_n(1-x)={(-1)}^n{E}_n\left(x\right)$$

オイラー多項式

2025年1月21日

(*)オイラー多項式の特殊値

$$E_n\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{E_n}{2^n}$$

オイラー多項式

2025年1月20日

オイラー多項式の定義

$$E_n\left(x\right)=\sum _{k=0}^{n}C(n,k)\frac{E_k}{2^k}{(x-\frac{1}{2})}^{n-k}$$

ベルヌーイ多項式

2025年1月10日

ベルヌーイ多項式の微分表示

$$B_n\left(x\right)=\frac{D}{e^D-1}{x}^n$$

ベルヌーイ多項式

2025年1月9日

(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗

$$P(x,n+1)=\sum _{k=0}^n\frac{n+1}{k+1}{S}_1(n,k)(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1})$$

ベルヌーイ多項式

2025年1月8日

ベルヌーイ多項式の指数型母関数

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\left(x\right)\frac{t^k}{k!}=\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}$$

ベルヌーイ多項式

2025年1月6日

(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分

$$B_n^{\left(k\right)}\left(x\right)=P(n,k)B_{n-k}\left(x\right)$$

ベルヌーイ多項式

2024年12月31日

(*)ベルヌーイ多項式の総和

$$\sum _{j=0}^{n}C(n,j)B_j\left(x\right)={(-1)}^n{B}_n(-x)$$

ベルヌーイ多項式

2024年12月30日

(*)ベルヌーイ多項式同士の関係

$$B_n(1-x)={(-1)}^n{B}_n\left(x\right)$$

ベルヌーイ多項式

2024年12月27日

(*)ベルヌーイ多項式の特殊値

$$B_n\left(0\right)=B_n$$

ベルヌーイ多項式

2024年12月26日

ベルヌーイ多項式の級数表示

$$B_n\left(x\right)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{j}C(k,j){(x+j)}^n$$

ベルヌーイ多項式

2024年12月25日

ベルヌーイ多項式の定義

$$B_n\left(x\right)=\sum _{k=0}^{n}C(n,k)B_k{x}^{n-k}$$

２項係数

2024年12月11日

2項変換と交代2項変換の母関数

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{x}^k=\frac{1}{1-x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{\left(\frac{x}{1-x}\right)}^k$$

3角関数

2024年11月18日

3角関数3つでの積和公式・和積公式

$$\sin A+\sin B+\sin C=4\sin \frac{B+C}{2}\sin \frac{C+A}{2}\sin \frac{A+B}{2}+\sin (A+B+C)$$

3角関数

2024年10月9日

3角関数・双曲線関数の無限乗積展開

$$\sin \left(\pi z\right)=\pi z\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{k^2})$$