ベルヌーイ多項式の微分表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\frac{D}{e^{D}-1}x^{n}
\]
カテゴリー: 関数
(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
\[
P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right)
\]
ベルヌーイ多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}
\]
(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分
\[
B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right)
\]
(*)ベルヌーイ多項式の総和
\[
\sum_{j=0}^{n}C\left(n,j\right)B_{j}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(-x\right)
\]
(*)ベルヌーイ多項式同士の関係
\[
B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right)
\]
(*)ベルヌーイ多項式の特殊値
\[
B_{n}\left(0\right)=B_{n}
\]
ベルヌーイ多項式の級数表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\left(x+j\right)^{n}
\]
ベルヌーイ多項式の定義
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}
\]
2項変換と交代2項変換の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}
\]
3角関数3つでの積和公式・和積公式
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\sin\frac{B+C}{2}\sin\frac{C+A}{2}\sin\frac{A+B}{2}+\sin\left(A+B+C\right)
\]
3角関数・双曲線関数の無限乗積展開
\[
\sin\left(\pi z\right)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)
\]
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
\[
\gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right)
\]
リーマン・ゼータ関数のローラン展開
\[
\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt
\]
飛び飛びの2項定理
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\}
\]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma
\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]
指数関数の多重対数関数の積分
\[
\int\Li_{n}\left(e^{z}\right)dz=\Li_{n+1}\left(e^{z}\right)+C
\]
正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
\[
\tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right)
\]
2項係数の飛び飛びの総和
\[
\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l}
\]
偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$
偶関数・奇関数の導関数
偶関数の導関数は奇関数になる。
偶関数・奇関数の和・積
\[
\text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数}
\]
関数の偶奇分解
\[
f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right)
\]
偶関数・奇関数の定義
\[
f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right)
\]
1と3角関数・双曲線関数
\[
1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}
\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)
\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]
2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0
\]