矩形関数の性質
\[
\mathrm{rect}\left(x\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)
\]
カテゴリー: その他関数
3角形関数の性質
\[
\mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right)
\]
のこぎり波の定義
\[
f\left(x\right):=x
\]
矩形波の定義
\[
f\left(x\right):=\begin{cases}
-1 & x<0\\
0 & x=0\\
1 & 0<x
\end{cases}
\]
矩形関数の定義
\[
\mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases}
1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\
0 & \frac{1}{2}<\left|x\right|
\end{cases}
\]
3角形関数の定義
\[
\mathrm{tri}\left(x\right):=\max\left(1-\left|x\right|,0\right)
\]
ディリクレ核の性質
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}\left(x\right)=2\pi\mathrm{comb}_{2\pi}\left(x\right)
\]
ディリクレ核の定義と別表示
\[
D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}
\]
デルタ関数の色々な表現
\[
\delta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk
\]
デルタ関数の性質
\[
\delta\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(x\right)
\]
デルタ関数の定義
\[
\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x\right)dx=f\left(0\right)
\]
櫛型関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T}nx}
\]
櫛型関数の性質
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)
\]
櫛型関数の定義
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)
\]
交代順列とジグザグ数
\[
\tan x+\cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{T}_{k}}{k!}x^{k}
\]
偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$
偶関数・奇関数の導関数
偶関数の導関数は奇関数になる。
偶関数・奇関数の和・積
\[
\text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数}
\]
関数の偶奇分解
\[
f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right)
\]
偶関数・奇関数の定義
\[
f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right)
\]
カントールの対関数の逆関数
\[
\begin{cases}
m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\
n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2}
\end{cases}
\]
カントールの対関数の性質
\[
\pi\left(m+1,n\right)=\pi\left(m,n\right)+m+n+1
\]
カントールの対関数の漸化式
\[
\pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases}
\pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\
\pi\left(n+1,0\right) & m=0
\end{cases}
\]
カントールの対関数の定義
\[
\pi\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n
\]
最大値・最小値と絶対値の関係
\[
\min\left(-x,x\right)=-\left|x\right|
\]
sinc関数のn乗広義積分
\[
\int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)!}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\sgn(n-2k)
\]
対数関数のn回積分
\[
\left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!}
\]