偶関数・奇関数 2024年2月29日 偶関数・奇関数の定積分 $f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$
3角関数 2024年2月4日 1と3角関数・双曲線関数(半角の公式の拡張) \[ 1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2} \]
ガンマ関数 2024年1月27日 (*)ガンマ関数と複素数 \[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right) \]
ガンマ関数 2023年1月9日 ポリガンマ関数同士の差の極限 \[ \lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1} \]
2項係数 2022年10月21日 2項係数が0になるとき \[ \forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0 \]
階乗冪 2022年10月18日 階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき \[ \forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0 \]
2項係数 2022年10月8日 2項係数を含む総和 \[ \sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)} \]
2項係数 2022年10月5日 中央2項係数の値 \[ C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \]
ガンマ関数 2022年9月29日 ガンマ関数の非正整数近傍での値 \[ \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \]
階乗冪 2022年9月26日 階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係 \[ \frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right) \]
ガンマ関数 2022年9月19日 負の整数の階乗の商 \[ \frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)} \]
指数積分・正弦積分・余弦積分 2022年8月6日 余弦積分の極限 \[ \lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases} \Log\alpha & x\rightarrow+0\\ \Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0 \end{cases} \]
2項係数 2022年7月23日 パスカルの法則の一般形 \[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
2項係数 2022年7月19日 パスカルの法則の応用 \[ C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right) \]
カントールの対関数 2022年7月17日 カントールの対関数の逆関数 \[ \begin{cases} m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\ n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2} \end{cases} \]
カントールの対関数 2022年7月12日 カントールの対関数の漸化式 \[ \pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases} \pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\ \pi\left(n+1,0\right) & m=0 \end{cases} \]
カントールの対関数 2022年7月8日 カントールの対関数の定義 \[ \pi\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n \]
ベータ関数 2022年4月12日 ベータ関数の絶対収束条件 ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束
2項係数 2022年1月2日 中央2項係数を含む通常型母関数 \[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\} \]
2項係数 2021年12月31日 中央2項係数の通常型母関数 \[ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}} \]