符号関数の微分と積分
\[
\frac{d\sgn\left(x\right)}{dx}=2\delta\left(x\right)
\]
カテゴリー: 関数
符号関数の符号関数
\[
\sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[
\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}
\]
冪乗の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
積の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right)
\]
符号関数の定義
\[
\sgn\left(z\right)=\begin{cases}
\frac{z}{\left|z\right|} & z\ne0\\
0 & z=0
\end{cases}
\]
剰余の剰余
\[
\mod\left(\mod\left(\alpha,n\beta\right),\beta\right)=\mod\left(\alpha,\beta\right)
\]
整数を含む床関数と天井関数
\[
\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil =n
\]
天井関数と床関数の和と差
\[
\left\lceil z\right\rceil -\left\lfloor z\right\rfloor =\sgn\mod\left(\Re z,1\right)+i\sgn\mod\left(\Im z,1\right)
\]
剰余演算の実部と虚部
\[
\mod\left(\alpha,\beta\right)=\Re\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)-\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+i\left\{ \Re\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)\right\}
\]
実数の複素数と複素共役の剰余演算
\[
\mod\left(1,\overline{\alpha}\right)=\overline{\mod\left(1,\alpha\right)}+i\overline{\alpha}\left|\sgn\mod\left(\Im\alpha,\left|\alpha\right|^{2}\right)\right|
\]
複素数と複素共役の実数での剰余演算
\[
\mod\left(\alpha,1\right)=\mod\left(\Re\alpha,1\right)+i\mod\left(\Im\alpha,1\right)
\]
床関数と天井関数の性質
\[
\left\lceil z\right\rceil =-\left\lfloor -z\right\rfloor
\]
床関数と天井関数の別表記
\[
\left\lfloor z\right\rfloor =z-\mod\left(z,1\right)
\]
床関数と天井関数の定義
\[
\left\lfloor x\right\rfloor =\max\left\{ n\in\mathbb{Z};n\leq x\right\}
\]
偏角と剰余の関係
\[
\Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right)
\]
剰余演算の定数倍
\[
\frac{1}{\delta}\mod\left(\alpha,\beta,\gamma\right)=\mod\left(\frac{\alpha}{\delta},\frac{\beta}{\delta},\frac{\gamma}{\delta}\right)
\]
剰余演算と床関数・天井関数の関係
\[
\alpha=\beta\left\lfloor \frac{\alpha-\gamma}{\beta}\right\rfloor +\mod\left(\alpha,\beta,\gamma\right)
\]
剰余演算の引数
\[
\mod\left(\alpha,\beta,\gamma\right):=\mod\left(\alpha-\gamma,\beta\right)+\gamma
\]
負数の剰余演算
\[
\mod\left(-x,a,b\right)=-\mod\left(x+2b,a,b\right)+a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x+2b,a,b\right)-b\right\} \right|+2b
\]
剰余演算同士の和・差
\[
\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)=\mod\left(x+y,a,b\right)+a\mzp_{0,1}\left(b\sgn\left(a\right),b\sgn\left(a\right)+\left|a\right|;\sgn\left(a\right)\left(\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)\right)\right)
\]
mzp関数の定義と負数の関係
\[
\mzp_{a,b}\left(x_{1},x_{2};-x\right)=-\mzp_{-b,-a}\left(-x_{2},-x_{1};x\right)
\]
偏角の三角関数
\[
\sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|}
\]
オイラーの公式の応用
\[
\cos z\pm i\sin z=e^{\pm iz}
\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の積
\[
\sgn\left(x\right)H_{a}\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の正数と負数の和と差
\[
H_{a}\left(x\right)+H_{b}\left(-x\right)=1+\left(a+b-1\right)\delta_{0,x}
\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right)=\frac{1\pm\sgn x}{2}
\]
ヘヴィサイドの階段関数の負数・和・差
\[
H_{a}\left(-x\right)=-H_{a}\left(x\right)+1+\left(2a-1\right)\delta_{0,x}
\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係
\[
H_{a}\left(x\right)=\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x}
\]
ヘヴィサイドの階段関数同士の変換
\[
H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x}
\]