ヘヴィサイドの階段関数 2021年5月10日 ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示 \[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz \]
ヘヴィサイドの階段関数 2021年5月8日 ヘヴィサイドの階段関数の極限表示 \[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right) \]
ヘヴィサイドの階段関数 2021年5月6日 ヘヴィサイドの階段関数の微分・積分と微分・積分表示 \[ \frac{dH\left(x\right)}{dx}=\delta\left(x\right) \]
ヘヴィサイドの階段関数 2021年5月4日 ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の定義 \[ H_{a}\left(x\right)=\begin{cases} 0 & \left(x<0\right)\\ a & \left(x=0\right)\\ 1 & \left(0<x\right) \end{cases} \]
3角関数 2021年4月30日 1±itan(z)など \[ 1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right) \]
3角関数 2021年4月29日 三角関数・双曲線関数の実部と虚部 \[ \sin z=\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)+i\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right) \]
3角関数 2021年4月20日 三角関数と双曲線関数の実部と虚部 \[ \tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)} \]
3角関数 2021年4月14日 巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分 \[ \int z^{\alpha}\Sin^{\bullet}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\bullet}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C \]
多重対数関数 2021年4月8日 多重対数関数を含む積分 \[ \int\Li_{n}\left(z\right)dz=\sum_{k=0}^{n-2}\left\{ \left(-1\right)^{n-k}z\Li_{k+2}\left(z\right)\right\} -\left(-1\right)^{n}\left(z-\left(1-z\right)\Li_{1}\left(z\right)\right)+C \]
3角関数 2021年4月6日 逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係 \[ \Tan^{\bullet}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right) \]
3角関数 2021年4月1日 三角関数と双曲線関数の実部と虚部 \[ \sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \]
2項係数 2021年3月28日 2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e} \]
3角関数 2021年3月24日 三角関数と双曲線関数のn乗積分 \[ \int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\} \]
多重階乗 2021年3月17日 (拡張)多重階乗の逆数和 \[ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(ak+b\right)!_{a}}=\frac{e^{\frac{1}{a}}a^{\frac{b}{a}}\Gamma\left(\frac{b}{a}+1\right)}{b!_{a}}\left(\frac{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1,\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1\right)}-\frac{\Gamma\left(\frac{b}{a},\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a}\right)}\right) \]
多重階乗 2021年3月13日 (拡張)多重階乗と階乗の関係 \[ \left(an+b\right)!_{a}=\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!} \]
多重階乗 2021年3月7日 2重階乗の逆数和 \[ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(2k\right)!!}=\sqrt{e}\frac{\Gamma\left(n+1,\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1\right)} \]
ガンマ関数 2021年3月4日 第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限 \[ \lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x} \]
ガンマ関数 2021年2月27日 第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分 \[ \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x} \]
ガンマ関数 2021年2月22日 第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式 \[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]
ガンマ関数 2021年2月19日 不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係 \[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
ガンマ関数 2021年2月11日 階乗と階乗の逆数の母関数 \[ \frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right) \]
多重階乗 2021年2月5日 ウォリス積分の拡張2重階乗表示 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]
ガンマ関数 2021年2月3日 1次式の総乗と階乗 \[ \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \]