2重階乗の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(2k\right)!!}=\sqrt{e}\frac{\Gamma\left(n+1,\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1\right)}
\]
カテゴリー: 関数
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の基本性質
\[
\Gamma\left(1,x\right)=e^{-x}
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
\[
\frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x}
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x}
\]
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[
\gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right)
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[
\Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt
\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[
\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P(k,n)x^{k}=\frac{x^{n}n!}{(1-x)^{n+1}}
\]
ウォリス積分の拡張2重階乗表示
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]
階乗の多重階乗表示
\[
n!=\prod_{k=0}^{j-1}\left(n-k\right)!_{j}
\]
多重階乗の階乗表示
\[
\left(qn+r\right)!_{n}=r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!}
\]
負の多重階乗
\[
\left(-\left(qn+r\right)\right)!_{n}=\frac{\left(-1\right)^{q}}{\left(qn-\left(n-r\right)\right)!_{n}}
\]
拡張多重階乗の簡単な値
\[
0!^{n}=\frac{1}{\sqrt[n]{n}\left(\frac{1}{n}\right)!}
\]
拡張多重階乗の漸化式
\[
x!^{n}=x\left(x-n\right)!^{n}
\]
多重階乗同士の関係
\[
\left(qn+r\right)!^{n}=r!^{n}\frac{\left(qn+r\right)!_{n}}{r!_{n}}
\]
多重階乗と拡張多重階乗の定義
\[
\left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!}
\]
三角関数・双曲線関数の微分
\[
\left(\sin x\right)'=\cos x
\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[
\int f(\cos x,\sin x)dx=\int f\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\frac{2}{1+t^{2}}dt\cmt{t=\tan\frac{x}{2}}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の対数表示
\[
\Sin^{\bullet}z=-i\Log\left(iz+\sqrt{1-z^{2}}\right)
\]
三角関数(双曲線関数)の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\left(\sin\left(\pi x\right)\right)=\log\left(\pi x\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta\left(2k\right)}{k}x^{2k}
\]
ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}
\]
ゼータ関数の交代級数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2}
\]
ζ(4k)の総和
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi
\]
偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1
\]
偶数ゼータの通常型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)
\]
ζ(2)の値
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]
チェビシェフ多項式の級数表示
\[
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)
\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[
T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)
\]