2項係数の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}
\]
カテゴリー: 関数
2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
2項係数の逆数の差分
\[
C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)
\]
ディクソンの等式
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
\]
2項係数の2乗和
\[
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)
\]
ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
\[
\sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k)
\]
2項係数の特殊な積
\[
C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)
\]
2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]
2項係数の1項間漸化式
\[
C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y)
\]
ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
ガンマ関数の半整数値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}
\]
ガンマ関数の微分
\[
\frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)
\]
ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[
\Gamma(n+1)=n!
\]
ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx
\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の1/2値
\[
P\left(-\frac{1}{2},n\right)=\frac{(-1)^{n}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の微分
\[
\frac{d}{dx}P(x,y) =P(x,y)\left\{ \psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right\}
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\[
P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z)
\]
和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\[
P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[
\sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の差分
\[
P(x,y)=\frac{1}{y+1}\left(P(x+1,y+1)-P(x,y+1)\right)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の１項間漸化式
\[
P(x+1,y)=\frac{x+1}{x-y+1}P(x,y)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)同士の関係
\[
P(x,y)=P^{-1}(x-y,-y)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
\[
P(x,y)=\frac{x!}{(x-y)!}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値
\[
\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}
\]