2項変換と交代2項変換の逆変換
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}
\]
カテゴリー: 関数
三角関数と双曲線関数の対数の積分
\[
\int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{}
\]
三角関数と双曲線関数の対数
\[
\log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)
\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[
\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C
\]
三角関数の積
\[
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}
\]
偶数と奇数の2重階乗
\[
\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}
\]
ガンマ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1
\]
２項係数とベータ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}
\]
ベータ関数の微分
\[
\frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}
\]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[
B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}
\]
ガウスの乗法公式
\[
\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
sinc関数のn乗広義積分
\[
\int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)!}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\sgn(n-2k)
\]
対数関数のn回積分
\[
\left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!}
\]
ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)
\]
ベータ関数とガンマ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\]
ベータ関数の関数等式
\[
xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
\]
ベータ関数になる積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)
\]
多重対数関数の漸化式
\[
Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}
\]
多重対数関数の基本的性質
\[
\Li_{1}(z)=-\log(1-z)
\]
多重対数関数の定義
\[
Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}}
\]
2項係数の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}
\]
2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
2項係数の逆数の差分
\[
C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)
\]
ディクソンの等式
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
\]
2項係数の2乗和
\[
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)
\]
ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
\[
\sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k)
\]
2項係数の特殊な積
\[
C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)
\]
2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]