分割数の漸化式
\[p\left(n,k\right)=p\left(n,k-1\right)+p\left(n-k,k\right)\]
空箱あり・なしの分割数の定義
\[q\left(n,k\right)=p\left(n-k,k\right)\]
地上と地下、早いのはどちら？
不正をされていることに気づいている
床関数を含む積分です
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left\lfloor \tan x\right\rfloor }{\tan x}dx=?\]
2本の紐を燃やして時間を計る
2本の紐を燃やして時間を計るにはどうすればいい？
12個の箱に2枚のコイン
順番に箱を開けていくとき、どちらが有利でしょうか？
3階のエディントン・イプシロンの性質
\[\epsilon_{ijk}=\det\left(\begin{array}{ccc}\delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k}\\\delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k}\\\delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k}\end{array}\right)\]
レヴィ・チヴィタ・イプシロンの定義
\[\epsilon_{ijk}=\begin{cases}+1 & even\\-1 & odd\\0 & etc\end{cases}\]
[2022年慶應義塾大学医学部数学第1問] 因数分解
$x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$を因数分解せよ。
[2007年埼玉医科大学・数学]定積分
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+\sqrt{3}\tan x}dx=?\]
直交曲線座標でのナブラ演算子・回転・発散・ラプラシアン
\[\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=\frac{1}{h}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{A_{i}h}{h_{i}}\]
直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散
\[\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{hh_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i}\]
直交曲線座標での性質
\[h_{i}\boldsymbol{\nabla}q_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\]
スケール因子・微小線素と単位基底ベクトル・ベクトルの成分同士の関係
\[\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\]
勾配の方向と方向微分
\[\nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right):=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\]
ストークスの定理とガウスの発散定理
\[\iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}\]
ナブラ演算子・勾配・発散・回転・ラプラシアンの定義
\[\boldsymbol{\nabla}:=\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}\]
アインシュタインの和の既約
合成関数の導関数・偏導関数
\[\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}\]
偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
\[df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i}\]
ハイパー調和数の性質
\[H_{n}^{\left(1\right)}=H_{n}\]