調和数・一般化調和数の定義
\[H_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}\]
集合族の和集合・積集合の性質
\[\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A}\]
[2021年福島大学・前期]因数分解
$\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-7\right)\left(x-9\right)-9$を因数分解せよ。
[2023年滋賀医科大学・数学第4問]関数方程式
\[f\left(x\right)=1+\int_{0}^{x}e^{t}\left(1+t\right)f\left(t\right)dt,f\left(x\right)=?\]
2の34乗と5の14乗の大小関係
\[2^{34}\lesseqgtr5^{14}\]
ベータ関数の逆数を含む総和
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=?\]
逆3角関数の積の積分
\[\int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx=?\]
[2005年京都大学文系・数学第4問]3乗同士の差の整数問題
\[a^{3}-b^{3}=65,\left(a,b\right)=?\]
2項係数の2重和の問題
\[\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\sum_{j=k}^{n}C\left(n+1,j+1\right)=?\]
[2023年東工大数学第1問]積分の整数部分
\[\left\lfloor \int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx\right\rfloor =?\]
基本的な関数のフーリエ変換
\[\mathcal{F}_{1,x}\left[x^{n}\right]\left(\xi\right)=\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n}\delta^{\left(n\right)}\left(\xi\right)\]
ヘヴィサイド関数と符号
\[H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right)\]
矩形関数の性質
\[\mathrm{rect}\left(x\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\]
3角形関数の性質
\[\mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right)\]
のこぎり波の定義
\[f\left(x\right):=x\]
矩形波の定義
\[f\left(x\right):=\begin{cases}-1 & x<0\\0 & x=0\\1 & 0<x\end{cases}\]
矩形関数の定義
\[\mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases}1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2}<\left|x\right|\end{cases}\]
3角形関数の定義
\[\mathrm{tri}\left(x\right):=\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\]
簡単な関数のフーリエ級数展開
\[F\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\left(2k-1\right)}\sin\left(\left(2k-1\right)x\right)\]
ディリクレの収束定理
\[F\left(x\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f\left(x+\epsilon\right)+f\left(x-\epsilon\right)}{2}\]
リーマン・ルベーグの定理
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)e^{ikx}dx=0\]
フーリエ級数展開でのベッセルの不等式
\[\sum_{k=-n}^{n}\left|C_{k}\right|^{2}\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx\]
ディリクレ核の性質
\[\lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}\left(x\right)=2\pi\mathrm{comb}_{2\pi}\left(x\right)\]
ディリクレ核の定義と別表示
\[D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}\]
デルタ関数の色々な表現
\[\delta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk\]