CAPMの証明
\[
\beta_{A}=\rho_{AM}\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{M}}
\]
カテゴリー: 数学
トービンの分離定理の解説
\[
\sigma\left[w_{A}R_{A}+w_{B}R_{B}\right]\leq w_{A}\sigma_{A}+w_{B}\sigma_{B}
\]
割引配当による理論株価
\[
P=\frac{a}{r}
\]
早期権利行使は損
早期権利行使はせずにその権利を売るほうが得をする。
破産確率
\[
\begin{cases}
\frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}} & p\ne\frac{1}{2}\\
\frac{b}{a+b} & p=\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
運用による資産推移
\[
x=\begin{cases}
\left(x_{0}+\frac{b}{\log a}\right)a^{t}-\frac{b}{\log a} & a\ne1\\
x_{0}+bt & a=1
\end{cases}
\]
秘書問題(最良選択問題)
1位の応募者を採用することを最優先する場合はどのような戦略をとれば良いか。
5次方程式ですが簡単に解けます
\[
z^{6}=\left(z-1\right)^{6}
\]
12を分解して因数分解できるかな
\[
z^{3}+z^{2}=12
\]
少しだけ難しい有理化問題
\[
\frac{1}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}
\]
連続で2段上れないときには階段の上り方は何通りあるか？
1回で1段または2段上れるが連続で2段上ることができないとき何通りの上り方があるか。
階段の上り方は何通りあるか？
1回で1段または2段上れるとき何通りの上り方があるか。
整除関係と大小関係
\[
\forall a,b\in\mathbb{N},a\mid b\rightarrow a\leq b
\]
整除関係の性質
\[
a\mid b\land b\mid a\leftrightarrow\left|a\right|=\left|b\right|
\]
整除関係の基本的な値
\[
\forall a\in\mathbb{Z},\pm1\mid a
\]
整徐関係の定義
\[
\exists n\in\mathbb{Z},a=bn\rightarrow b\mid a
\]
有向集合と有向点列の定義
\[
\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c
\]
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
ツォルンの補題
帰納的順序集合$\left(X,\preceq\right)$は極大元をもつ。
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[
A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}
\]
選択関数と選択公理の定義
\[
\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset
\]
超限帰納法
\[
P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)
\]
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
整列集合の基本的な性質
\[
X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset
\]