複素数 2024年1月3日 対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い \[ \Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right) \]
実数論 2023年12月30日 実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義 \[ \left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x \]
実数論 2023年12月29日 チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係 \[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} \]
実数論 2023年12月27日 級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在 \[ \exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a \]
実数論 2023年12月24日 上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係 \[ \left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \]
実数論 2023年12月23日 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積 \[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]
実数論 2023年12月21日 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和 \[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]
実数論 2023年12月20日 極限と上極限・下極限との関係 \[ \exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right) \]
実数論 2023年12月18日 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍 \[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \]
実数論 2023年12月17日 上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係 \[ \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
実数論 2023年12月12日 実数列の上極限と下極限の定義 \[ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \]
金融 2023年12月8日 トービンの分離定理の解説 \[ \sigma\left[w_{A}R_{A}+w_{B}R_{B}\right]\leq w_{A}\sigma_{A}+w_{B}\sigma_{B} \]
金融 2023年11月28日 破産確率 \[ \begin{cases} \frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}} & p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{b}{a+b} & p=\frac{1}{2} \end{cases} \]
金融 2023年11月27日 運用による資産推移 \[ x=\begin{cases} \left(x_{0}+\frac{b}{\log a}\right)a^{t}-\frac{b}{\log a} & a\ne1\\ x_{0}+bt & a=1 \end{cases} \]