カテゴリー: 数学
分母にxの20乗がある定積分
\[
\int_{2}^{\infty}\frac{x^{9}}{x^{20}-48x^{10}+575}dx=?
\]
対称な5次方程式
\[
\left(x+y\right)^{5}=x^{5}+y^{5}
\]
量化記号(全称命題・存在命題)の分配
\[
\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)
\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
\[
\lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right)
\]
量化記号(全称命題・存在命題)の定義
\[
\forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right)
\]
2引数が同じ3引数の論理演算子
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)
\]
3引数論理演算を別表記
\[
P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)
\]
優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R
\]
1=2の証明
この証明はどこが間違えてる？
カタラン数の漸化式
\[
C_{n+1}=\frac{2\left(2n+1\right)}{n+2}C_{n}
\]
カタラン数の別表現
\[
C_{n}=\frac{1}{n+1}C\left(2n,n\right)
\]
カタラン数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}x^{k}=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
\]
カタラン数の定義
\[
C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{k}C_{n-k}
\]
複雑な2重根号を含む定積分
\[
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}dx=?
\]
クロネッカーのデルタの微分表示
\[
\delta_{j,k}=\frac{1}{k!}\left[\frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}}x^{k}\right]_{x\rightarrow0}
\]
飛び飛びの2項定理
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\}
\]
底が異なる指数方程式
\[
9^{x}-6^{x}=4^{x}
\]
3次方程式を解けるかな
\[
z^{3}+z^{2}=36
\]
(*)スターリング数と2項係数
\[
C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k
\]