ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[
H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}
\]
カテゴリー: 数学
ハイバー演算子の基本的な値
\[
H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases}
a+1 & n=0\\
a & n=1\\
0 & n=2\\
\delta_{0a} & n=3\\
\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots
\end{cases}
\]
ハイバー演算子の定義
\[
H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases}
b+1 & n=0\\
a+b & n=1\\
\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots
\end{cases}
\]
クヌースの矢印表記の定義
\[
a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}
ab & n=0\\
1 & n\geq1\;\land\;b=0\\
\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise
\end{cases}
\]
余弦積分の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Log\alpha & x\rightarrow+0\\
\Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
負数の偏角と対数
\[
\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi
\]
指数積分・正弦積分・余弦積分の定義
\[
\Si\left(x\right):=\int_{0}^{x}\frac{\sin x}{x}dx
\]
総和と総乗の逆順
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right)
\]
パスカルの法則の一般形
\[
C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right)
\]
パスカルの法則の応用
\[
C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right)
\]
カントールの対関数の逆関数
\[
\begin{cases}
m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\
n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2}
\end{cases}
\]
カントールの対関数の性質
\[
\pi\left(m+1,n\right)=\pi\left(m,n\right)+m+n+1
\]
カントールの対関数の漸化式
\[
\pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases}
\pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\
\pi\left(n+1,0\right) & m=0
\end{cases}
\]
カントールの対関数の定義
\[
\pi\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n
\]
指数方程式の問題
\[
16^{\frac{x-1}{x}}3^{x}=36\;,\;x=?
\]
有理式のルートが整数になる問題
\[
\sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}}\text{が整数となる}n
\]
分母に階乗の和を含む総和
\[
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots+\frac{100}{98!+99!+100!}=?
\]
無限多重根号の方程式
\[
\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}}\;,\;x=?
\]
余弦と正弦の2乗が肩にある方程式
\[
2^{\cos^{2}x}+2^{\sin^{2}x}=3\;,\;x=?
\]
気付けば一瞬で解ける問題
\[
x+\sqrt{x}=3\;,\;x+\frac{3}{\sqrt{x}}=?
\]
ルート引くルートの問題
$\sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$を簡単にせよ
x²-x+1で割った余り
$x^{1000}$を$x^{2}-x+1$で割った余り
無限に続くルート問題
\[
\sqrt{2\sqrt{4\sqrt{8\sqrt{16\cdots}}}}=?
\]
y/xを求める問題
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x-y}\;,\;0<x<y$のとき、$\frac{y}{x}$を求めよ
3変数3次対称式の因数分解
\[
\left(x+y+z\right)^{3}-\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\text{を因数分解せよ}
\]
階乗の冪婚を含む極限値問題
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
エジプト式分数の個数
エジプト式分数は無数に存在する。
エジプト式分数表示
任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。
単位分数とエジプト式分数の定義
\[
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}
\]