距離空間での開集合と閉集合の定義
\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
カテゴリー: 数学
ε近傍(開球)の定義
\[
U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\}
\]
単射により誘導された距離空間
\[
d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)
\]
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\[
d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}
\]
チェビシェフ距離は距離空間
\[
d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)
\]
離散距離は距離空間
\[
d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\
1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}
\end{cases}
\]
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]
マンハッタン距離は距離空間
\[
d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|
\]
ユークリッド距離は距離空間
\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]
距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間
距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]
距離空間でε-近傍は開集合
\[
\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)
\]
距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義
\[
U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\}
\]
距離空間の定義
\[
d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)
\]
簡単な2次式の素数問題
\[
n^{2}-6n+8\text{が素数のなる}n
\]
無限に掛けるとどうなる？
\[
2^{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{8}}8^{\frac{1}{16}}\cdots=?
\]
5次式の因数分解
\[
x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\text{を因数分解せよ}
\]
3点を通る円
\[
\det\left(\begin{array}{cccc}
x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\
x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1\\
x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1
\end{array}\right)=0
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
1から5までの個数問題
この文章には
1が？個
2が？個
3が？個
4が？個
5が？個
あります。
1から4までの個数問題
この文章には
1が？個
2が？個
3が？個
4が？個
あります。
モンティ・ホール問題・改
3つのドアからどれを選ぶ？
総乗の極限問題
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=?
\]
max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]
指数が3個ある和の方程式
\[
2^{l}+4^{m}+8^{n}=200,\;\left(l,m,n\right)=?
\]
2乗和と3乗和から1乗和を求めよ
\[
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}=7\\
x^{3}+y^{3}=10\\
x+y=?
\end{cases}
\]
3を上手に使え
\[
\frac{x-11}{554}+\frac{x-10}{555}+\frac{x-9}{556}=3,\;x=?
\]
絶対収束するならば順序変更可能
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{\sigma\left(k\right)}
\]
絶対収束する級数は収束する
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\text{は収束する}
\]
無限正項級数は順序変更出来る
無限正項級数は順序変更できる。