条件収束と絶対収束の定義
数列$\left\{ a_{n}\right\} $の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。
カテゴリー: 数学
収束する数列の部分列は同じ値に収束する
無限数列$\left(a_{n}\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]
3角不等式
\[
\left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|
\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]
2引数が同じ3引数の論理演算子
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)
\]
3引数論理演算を別表記
\[
P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)
\]
ネイピア数と極限
\[
\lim_{h\rightarrow0}\left(1-h\right)^{\frac{1}{h}}=\frac{1}{e}
\]
優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R
\]
3つのうち1つを消したものとの包含関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Rightarrow P\lor Q
\]
LK推論規則での包含関係
\[
\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right)
\]
論理演算子の移項
\[
\left(P\land R\right)\rightarrow Q\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)
\]
演算子の作用と包含関係
\[
P\lor Q\Leftarrow P
\]
否定同値の否定同値は同値の同値
\[
P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R
\]
分配法則一覧
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)
\]
結合法則一覧
\[
P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R
\]
論理演算の基本
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
論理演算同士の関係
\begin{align*}
P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\
& \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)
\end{align*}
逆・裏・対偶の定義と対偶の法則
\[
\left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right)
\]
論理演算の定義
\[
P\rightarrow Q\Leftrightarrow\lnot P\lor Q
\]
異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right)
\]
分割数の定義と母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{k}}
\]
sinの3乗をｘの2乗で割った定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}dx=?
\]
2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0
\]
2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
\[
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}}
\]
テトレーションの微分
\[
\frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right)
\]
2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]