ポアソン和公式
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right)
\]
カテゴリー: 数学
偶関数・奇関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)
\]
櫛型関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T}nx}
\]
櫛型関数の性質
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)
\]
櫛型関数の定義
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)
\]
3角関数・双曲線関数の総和
\[
\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)
\]
[2016年京都大学・数学問2]シンプルな整数問題
$p,q$を素数として$p^{q}+q^{p}$が素数となる全ての値を求めよ。
[2025年東京理科大学理学部数学科]出題ミス
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{2}{k^{2}+3k-2}=?
\]
未知数がルートの中にある方程式
\[
\sqrt{z}+\sqrt{-z}=2,z=?
\]
正接・双曲線正接の総和展開
\[
\tan\pi z=\frac{2z}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}-z^{2}}
\]
3つの宝箱
3つの宝箱がありますが宝が入っているのは1つです。
フーリエ変換でのパーセバルの等式
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{F\left(\xi\right)}G\left(\xi\right)d\xi
\]
フーリエ変換の性質
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)*g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)
\]
フーリエ変換の定義による違い
\[
\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi}\right)
\]
フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx
\]
分母の2乗をどうするかな？
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}dx=?
\]
関数方程式の問題
\[
f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{x+3}{1-x}\right)=x,f\left(x\right)=?
\]
絶対値を含む不等式の範囲
\[
a\left(\left|x\right|-a\right)+x+1<0,-1<a,x=?
\]
実フーリエ級数
\[
f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)
\]
フーリエ級数でのパーセバルの定理
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx
\]
複素フーリエ係数の関係
\[
c_{-n}=\overline{c_{n}}
\]
複素フーリエ級数
\[
c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx
\]
3角関数・指数関数の直交性
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx=\delta_{m,n}
\]
畳み込みの性質
\[
\mathcal{F}\left(\left(f*g\right)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right)
\]
畳み込みの定義
\[
\left(f*g\right)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt
\]
4次式の点の軌跡
点$\left(t^{2}+1,t^{4}+2t^{2}\right)$の軌跡
2変数2次式の最小値
$x^{2}+2xy+2y^{2}+2x+3$の最小値
階乗を階乗で割ったら階乗になる
\[
\frac{10!}{6!}=n!,n=?
\]