2項係数 2022年10月5日 中央2項係数の値 \[ C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \]
ガンマ関数 2022年9月29日 ガンマ関数の非正整数近傍での値 \[ \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \]
階乗冪 2022年9月26日 階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係 \[ \frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right) \]
ガンマ関数 2022年9月19日 負の整数の階乗の商 \[ \frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)} \]
巨大数 2022年9月13日 コンウェイのチェーン表記の優先順位 \begin{align*} & a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\ & a\rightarrow b\rightarrow c\\ & \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c \end{align*}
巨大数 2022年9月7日 反復コンウェイのチェーン表記 \[ X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right) \]
巨大数 2022年9月1日 コンウェイのチェーン表記の定義 \[ X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b \]
巨大数 2022年8月23日 ハイパー演算子の優先順位 \[ I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a \]
巨大数 2022年8月20日 ハイパー演算子の結合法則 \[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
巨大数 2022年8月14日 ハイバー演算子の基本的な値 \[ H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases} a+1 & n=0\\ a & n=1\\ 0 & n=2\\ \delta_{0a} & n=3\\ \delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots \end{cases} \]
巨大数 2022年8月12日 ハイバー演算子の定義 \[ H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases} b+1 & n=0\\ a+b & n=1\\ \underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots \end{cases} \]
巨大数 2022年8月9日 クヌースの矢印表記の定義 \[ a\uparrow^{n}b:=\begin{cases} ab & n=0\\ 1 & n\geq1\;\land\;b=0\\ \underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise \end{cases} \]
指数積分・正弦積分・余弦積分 2022年8月6日 余弦積分の極限 \[ \lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases} \Log\alpha & x\rightarrow+0\\ \Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0 \end{cases} \]
複素数 2022年8月4日 偏角・対数の極限 \[ \lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases} \Arg\alpha & x\rightarrow+0\\ \Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0 \end{cases} \]
複素数 2022年8月1日 負数の偏角と対数 \[ \Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi \]
2項係数 2022年7月23日 パスカルの法則の一般形 \[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
2項係数 2022年7月19日 パスカルの法則の応用 \[ C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right) \]
カントールの対関数 2022年7月17日 カントールの対関数の逆関数 \[ \begin{cases} m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\ n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2} \end{cases} \]
カントールの対関数 2022年7月12日 カントールの対関数の漸化式 \[ \pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases} \pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\ \pi\left(n+1,0\right) & m=0 \end{cases} \]