式変形 2021年11月1日 1次式の逆n乗和 \[ \sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left(\alpha k+\beta\right)^{n}}=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\alpha^{n}\left(n-1\right)!}\left\{ \psi^{\left(n-1\right)}\left(m+1+\frac{\beta}{\alpha}\right)-\psi^{\left(n-1\right)}\left(1+\frac{\beta}{\alpha}\right)\right\} \]
総和・総乗 2021年10月29日 分母と分子交互に根号の総乗 \[ \prod_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt[2k-1]{\alpha}}{\sqrt[2k]{\alpha}}=2^{\Log\alpha} \]
総和・総乗 2021年10月26日 積の形の無限多重根号 \[ \sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\} \]
3角関数 2021年10月20日 三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。 \[ \sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \]
積分その他 2021年10月17日 (*)分母に1乗と2乗ルートの積分 \[ \int\frac{1}{\left(z+\alpha\right)\sqrt{z^{2}+\beta}}dz=\frac{\tanh^{\bullet}\left(\frac{\alpha z-\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}\sqrt{\beta+z^{2}}}\right)}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}} \]
積分その他 2021年10月14日 分母に2乗のルートがある積分 \[ \int\frac{1}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}dz=\frac{\sqrt{\alpha}\sqrt{\frac{z^{2}}{\alpha}+1}}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}\sinh^{\bullet}\frac{z}{\sqrt{\alpha}}+C \]
積分問題 2021年10月11日 分母に1乗と2乗ルートの積分 \[ \int\frac{1}{\left(z\pm1\right)\sqrt{z^{2}-1}}dz=\frac{\sqrt{z^{2}-1}}{\pm z+1}+C \]
3角関数 2021年10月8日 三角関数・双曲線関数の一次結合の逆数の積分 \[ \int\frac{1}{\alpha\sin z+\beta\cos z+\gamma}dz=-\frac{2}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}\tanh^{\bullet}\frac{\left(\gamma-\beta\right)\tan\frac{z}{2}+\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}+C \]
ヘヴィサイドの階段関数 2021年10月1日 ヘヴィサイドの階段関数の問題 \[ f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)g\left(-H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)g\left(H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left\{ f\left(0\right)g\left(0\right)+f\left(\pm1\right)g\left(\mp1\right)\right\} H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left\{ f\left(0\right)g\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)g\left(\mp_{1}1\right)\right\} H\left(\mp_{2}1\right) \]
ヘヴィサイドの階段関数 2021年9月28日 ヘヴィサイドの階段関数の2定義値を引数に持つ関数の和と差 \[ f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left(f\left(0\right)+f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left(f\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\mp_{2}1\right) \]
ヘヴィサイドの階段関数 2021年9月25日 ヘヴィサイドの階段関数の2定義値の和と差 \[ H\left(\pm_{1}1\right)\pm_{2}H\left(\pm_{1}1\right)=H\left(\pm_{2}1\right)\pm_{1}H\left(\pm_{2}1\right) \]
ヘヴィサイドの階段関数 2021年9月22日 ヘヴィサイドの階段関数の2定義値と関数 \[ f\left(x\right)H\left(\pm1\right)=f\left(\pm x\right)H\left(\pm1\right) \]
複素数 2021年9月12日 冪乗の対数 \[ \Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right) \]
複素数 2021年8月30日 絶対値の冪乗 \[ \left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma} \]
複素数 2021年8月28日 偏角・対数と絶対値 \[ \Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta \]
符号関数 2021年8月15日 符号関数の符号関数 \[ \sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right) \]
符号関数 2021年8月5日 積の符号関数 \[ \sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right) \]