ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz
\]
カテゴリー: 数学
ヘヴィサイドの階段関数の極限表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の微分・積分と微分・積分表示
\[
\frac{dH\left(x\right)}{dx}=\delta\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の定義
\[
H_{a}\left(x\right)=\begin{cases}
0 & \left(x<0\right)\\
a & \left(x=0\right)\\
1 & \left(0<x\right)
\end{cases}
\]
複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
1±itan(z)など
\[
1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right)
\]
三角関数・双曲線関数の実部と虚部
\[
\sin z=\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)+i\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)
\]
0の0乗の極限
\[
\lim_{x\rightarrow0}x^{\left|a\right|}=\delta_{0a}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の関係
\[
\Sin^{\bullet}\left(iz\right)=i\Sinh^{\bullet}z
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の負角
\[
\Sin^{\bullet}\left(-z\right)=-\Sin^{\bullet}z
\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}
\]
冪関数と指数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C
\]
偏角の和と積の偏角
\[
\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)
\]
巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}\Sin^{\bullet}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\bullet}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C
\]
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[
\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の導関数の特殊値
\[
\zeta'\left(0\right)=-\Log\sqrt{2\pi}
\]
多重対数関数を含む積分
\[
\int\Li_{n}\left(z\right)dz=\sum_{k=0}^{n-2}\left\{ \left(-1\right)^{n-k}z\Li_{k+2}\left(z\right)\right\} -\left(-1\right)^{n}\left(z-\left(1-z\right)\Li_{1}\left(z\right)\right)+C
\]
逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係
\[
\Tan^{\bullet}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right)
\]
微分と積分の関係
\[
f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a
\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)
\]
2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e}
\]
三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[
\int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\}
\]
階乗と冪乗の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0
\]
(拡張)多重階乗の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(ak+b\right)!_{a}}=\frac{e^{\frac{1}{a}}a^{\frac{b}{a}}\Gamma\left(\frac{b}{a}+1\right)}{b!_{a}}\left(\frac{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1,\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1\right)}-\frac{\Gamma\left(\frac{b}{a},\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a}\right)}\right)
\]
(拡張)多重階乗と階乗の関係
\[
\left(an+b\right)!_{a}=\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!}
\]
整数と半整数の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=e\frac{\Gamma(n+1,1)}{\Gamma\left(n+1\right)}
\]
2重階乗の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(2k\right)!!}=\sqrt{e}\frac{\Gamma\left(n+1,\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1\right)}
\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の基本性質
\[
\Gamma\left(1,x\right)=e^{-x}
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
\[
\frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x}
\]