ガンマ関数 2021年2月22日 第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式 \[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]
ガンマ関数 2021年2月19日 不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係 \[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
ガンマ関数 2021年2月11日 階乗と階乗の逆数の母関数 \[ \frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right) \]
多重階乗 2021年2月5日 ウォリス積分の拡張2重階乗表示 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]
ガンマ関数 2021年2月3日 1次式の総乗と階乗 \[ \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \]
多重階乗 2021年1月28日 多重階乗の階乗表示 \[ \left(qn+r\right)!_{n}=r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!} \]
多重階乗 2021年1月23日 負の多重階乗 \[ \left(-\left(qn+r\right)\right)!_{n}=\frac{\left(-1\right)^{q}}{\left(qn-\left(n-r\right)\right)!_{n}} \]
多重階乗 2021年1月11日 多重階乗と拡張多重階乗の定義 \[ \left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!} \]
微分積分 2020年12月26日 微分・原始関数・定積分・不定積分の定義 \[ \frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
3角関数 2020年12月21日 三角関数と双曲線関数の積分 \[ \int f(\cos x,\sin x)dx=\int f\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\frac{2}{1+t^{2}}dt\cmt{t=\tan\frac{x}{2}} \]
微分積分 2020年12月17日 ルートの中に2乗を含む積分 \[ \int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)dx=a\int f\left(a\cos t\right)\cos tdt\cnd{x=a\sin t} \]
微分積分 2020年12月16日 部分積分と繰り返し部分積分 \[ \int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \]
微分積分 2020年12月14日 逆関数の微分 \[ \frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1} \]
3角関数 2020年12月9日 三角関数(双曲線関数)の対数とリーマン・ゼータ関数 \[ \log\left(\sin\left(\pi x\right)\right)=\log\left(\pi x\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta\left(2k\right)}{k}x^{2k} \]