カテゴリー: 数学

チェビシェフ多項式

2020年11月12日

チェビシェフ多項式の別表記

T_{n} (x) = \frac{1}{2} ({(x + i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n} + {(x - i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n})

2020年11月11日

中央2項係数の総和

\sum_{k = 0}^{\infty} C^{- 1} (2 k, k) = \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{3} π}{27}

2020年11月9日

冪乗の性質

pv α^{β} pv α^{γ} = pv α^{β + γ}

2020年11月7日

対数と偏角の性質

\log α^{β} = β \log α + \log 1

2020年11月6日

複素指数関数の極形式

α^{β} = {| α |}^{ℜ (β)} e^{- ℑ (β) \arg α} e^{i (ℑ (β) \ln | α | + ℜ (β) \arg α)}

2020年11月5日

対数と偏角の基本

\log z = Log z + \log 1

2020年11月3日

eの冪乗の基本

e^{α + β} = e^{α} e^{β}

2020年11月1日

複素数の冪関数の定義

α^{β} = e^{β \log α}

2020年10月31日

2重和の変換

\sum_{m = a}^{\infty} \sum_{n = b}^{\infty} f (m, n) = \sum_{t = a + b}^{\infty} \sum_{s = a}^{t - b} f (s, t - s)

チェビシェフ多項式

2020年10月30日

(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示

T_{n} (x) = F (- n, n; \frac{1}{2}; \frac{1 - x}{2})

チェビシェフ多項式

2020年10月25日

(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式

T_{n} (x) = \frac{(- 1)^{n} \sqrt{π} \sqrt{1 - x^{2}}}{2^{n} Γ (n + \frac{1}{2})} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {(1 - x^{2})}^{n - \frac{1}{2}}

チェビシェフ多項式

2020年10月24日

第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式

(1 - x^{2}) V_{n}^{″} (x) - (2 x - 1) V_{n}^{'} (x) + n (n + 1) V_{n} (x) = 0

チェビシェフ多項式

2020年10月23日

第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性

\int_{- 1}^{1} V_{m} (x) V_{n} (x) \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} d x = π δ_{m n}

チェビシェフ多項式

2020年10月22日

第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式

V_{k + 1} (x) = 2 x V_{k} (x) - V_{k - 1} (x)

チェビシェフ多項式

2020年10月21日

第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係

V (- x) = (- 1)^{n} W_{n} (x)

チェビシェフ多項式

2020年10月20日

第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義

V_{n} (x) = \frac{\cos ((n + \frac{1}{2}) \cos^{∙} x)}{\cos (\frac{1}{2} \cos^{∙} x)}

チェビシェフ多項式

2020年10月19日

第2種チェビシェフ多項式の因数分解

U_{2 n - 1} (x) = 2 U_{n - 1} (x) T_{n} (x)

チェビシェフ多項式

2020年10月18日

チェビシェフ多項式の積表示

T_{n} (x) = 2^{n} \prod_{k = 1}^{n} (x - \cos (\frac{2 k - 1}{2 n} π))

チェビシェフ多項式

2020年10月17日

チェビシェフ多項式の昇降演算子

((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} \mp n x) T_{n} (x) = \mp n T_{n \pm 1} (x)

チェビシェフ多項式

2020年10月16日

チェビシェフ多項式の直交性

\int_{- 1}^{1} T_{m} (x) T_{n} (x) \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{π}{2} (δ_{m n} + δ_{0 m} δ_{0 n})

チェビシェフ多項式

2020年10月15日

チェビシェフの微分方程式

(1 - x^{2}) T_{n}^{″} (x) - x T_{n}^{'} (x) + n^{2} T_{n} (x) = 0

チェビシェフ多項式

2020年10月14日

チェビシェフ多項式の奇遇性

T_{n} (- x) = (- 1)^{n} T_{n} (x)

チェビシェフ多項式

2020年10月13日

チェビシェフ多項式の母関数

\sum_{k = 0}^{\infty} T_{k} (x) t^{k} = \frac{1 - t x}{1 - 2 t x + t^{2}}

チェビシェフ多項式

2020年10月12日

第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係

n U_{n - 1} (x) = T_{n}^{'} (x)

チェビシェフ多項式

2020年10月11日

チェビシェフ多項式の漸化式

T_{n + 1} (x) = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x)

チェビシェフ多項式

2020年10月10日

第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義

T_{n} (\cos t) = \cos (n t)

2020年10月9日

2重根号の逆数の総和

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k + \sqrt{k^{2} - 1}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} - 1)

2020年10月8日

2項変換と交代2項変換の逆変換

a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} C (n, k) b_{k}

クロネッカーのデルタ

2020年10月7日

クロネッカーのデルタの表示

δ_{m n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k + m}}{(m - k)! (k - n)!}

クロネッカーのデルタ

2020年10月6日

クロネッカーのデルタの性質

f (n) δ_{m n} = f (m) δ_{m n}