複素数 2020年11月6日 複素指数関数の極形式 \[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
式変形 2020年10月31日 2重和の変換 \[ \sum_{m=a}^{\infty}\sum_{n=b}^{\infty}f(m,n)=\sum_{t=a+b}^{\infty}\sum_{s=a}^{t-b}f(s,t-s) \]
チェビシェフ多項式 2020年10月25日 (*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式 \[ T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}} \]
チェビシェフ多項式 2020年10月24日 第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式 \[ \left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0 \]
チェビシェフ多項式 2020年10月23日 第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性 \[ \int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn} \]
チェビシェフ多項式 2020年10月20日 第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義 \[ V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)} \]
チェビシェフ多項式 2020年10月18日 チェビシェフ多項式の積表示 \[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]
チェビシェフ多項式 2020年10月17日 チェビシェフ多項式の昇降演算子 \[ \left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x) \]
チェビシェフ多項式 2020年10月16日 チェビシェフ多項式の直交性 \[ \int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right) \]
式変形 2020年10月9日 2重根号の逆数の総和 \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1\right) \]
3角関数 2020年10月5日 三角関数と双曲線関数の対数の積分 \[ \int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{} \]