2項関係の定義
\[\left(a,b\right)\in R\Leftrightarrow aRb\]
基本的な全単射が存在する例
終域が2つの写像全体の集合
\[\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\]
定義関数の定義と性質
\[1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases}1 & x\in A\\0 & x\notin A\end{cases}\]
カントール集合の定義と性質
\[C=\left[0,1\right]\setminus\bigcup_{j=1}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{3^{j-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{j}},\frac{3k+2}{3^{j}}\right)\]
ケーニッヒの記法の定義と例
\[x=0,\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\cdots\]
同値類の性質
\[\forall a,b\in X,a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)\]
同値類・商集合・商写像の定義
\[X/\sim=\left\{ C\left(a\right);a\in X\right\} \]
射影と成分への射影の定義
\[\pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M}\]
直和と直積・デカルト冪の定義
\[\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\} \]
空順序組と空集合は等しい
\[\left(\right)=\emptyset\]
順序組の定義
\[\left(a_{k}\right)_{k\in I}=\left\{ \left(i,a_{i}\right);i\in I\right\} \]
順序対の定義
\[\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\]
分割と同値関係と商集合の関係
\[x\sim y\Leftrightarrow\exists P\in\mathcal{P},x\in P\land y\in P\]
集合の分割の定義
\[\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \cup\left\{ b,c\right\} \]
集合族の和集合と積集合の定義
\[\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]
集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義
\[\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\]
全体集合と補集合の定義
\[A^{c}:=X\setminus A\]
交わりと互いに素の定義
\[A\cap B=\emptyset\]