チェビシェフ多項式 2020年10月20日 第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義 \[ V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)} \]
チェビシェフ多項式 2020年10月18日 チェビシェフ多項式の積表示 \[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]
チェビシェフ多項式 2020年10月17日 チェビシェフ多項式の昇降演算子 \[ \left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x) \]
チェビシェフ多項式 2020年10月16日 チェビシェフ多項式の直交性 \[ \int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right) \]
式変形 2020年10月9日 2重根号の逆数の総和 \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1\right) \]
3角関数 2020年10月5日 三角関数と双曲線関数の対数の積分 \[ \int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{} \]
3角関数 2020年10月3日 x tan(x)とx tanh(x)の積分 \[ \int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C \]
ガンマ関数 2020年10月1日 偶数と奇数の2重階乗 \[ \left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \]
ガンマ関数 2020年9月29日 ガンマ関数を含む極限 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1 \]
解析学 2020年9月28日 ウォリス積分を含む極限 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]
解析学 2020年9月27日 ウォリス積分の値 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2} \]
解析学 2020年9月26日 ウォリス積分の同表示 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta \]
解析学 2020年9月24日 ウォリスの公式 \[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]
ベータ関数 2020年9月22日 ベータ関数の微分 \[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]