空集合の定義と性質
\[\emptyset=\left\{ \right\} \]
外延的記法と内包的記法
\[\left\{ a,b,c\right\} \]
集合と要素の定義
\[a\in A\]
内部の最大性と閉包の最小性
\[O\subseteq A\Leftrightarrow O\subseteq A^{i}\]
空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
\[X^{s}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\} \]
稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
\[A^{a}=X\]
導集合・孤立点全体の集合の別表現
\[A^{d}=\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right)\]
位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合
\[A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}\]
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
\[A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \]
位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
\[\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A\]
位相空間での開集合・閉集合と内部・境界・閉包・導集合の基本
\[A^{i}\subseteq A\]
位相空間での閉集合系による位相
\[F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F}\]
位相空間での位相と開集合閉集合の定義
\[\forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O}\]
距離空間での開集合と点列の収束
距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon\]
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間ならば正規空間
点と集合との距離の関係
\[d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}\]
集合同士が交わるならば距離は0
\[A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0\]
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} \]
距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値