階乗冪(上昇階乗・下降階乗)同士の関係
\[
P(x,y)=P^{-1}(x-y,-y)
\]
カテゴリー: 数学
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
\[
P(x,y)=\frac{x!}{(x-y)!}
\]
連続で出来る部分分数分解
\[
\frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right)
\]
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}
\]
logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値
\[
\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示・テイラー展開と調和数・一般化調和数
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+H_{z-1}
\]
ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
\[
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt
\]
ガンマ関数の無限乗積
\[
\Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1)
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の冪乗積分漸化式
\[
\int\sin^{\bullet,n}xdx=x\sin^{\bullet,n}x+n\sqrt{1-x^{2}}\sin^{\bullet,n-1}x-n(n-1)\int\sin^{\bullet,n-2}xdx
\]
三角関数と双曲線関数の冪乗積分漸化式
\[
\int\sin^{n}xdx=-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}xdx\qquad(n\ne0)
\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の積分
\[
\int\sin^{\bullet}xdx=x\sin^{\bullet}x+\sqrt{1-x^{2}}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の級数表示
\[
\sin^{\bullet}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C\left(2k,k\right)}{4^{k}(2k+1)}x^{2k+1}\qquad,(|x|\leq1)
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示
\[
\sin^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt
\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[
\int\cos xdx=\sin x
\]
逆三角関数の三角関数と逆双曲線関数の双曲線関数
\[
\sin\Cos^{\bullet}z=\sqrt{1-z^{2}}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の微分
\[
\frac{d}{dx}\sin^{\bullet}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]
三角関数と双曲線関数の微分
\[
\frac{d}{dx}\tan x=\cos^{-2}x
\]
双曲線関数と三角関数の級数展開
\[
\tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\left(2^{2k}-1\right)B_{2k}}{(2k)!}x{}^{2k-1}
\]
ベッセル関数のポアソン積分表示
\[
J_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}e^{izt}dt
\]
逆三角関数の負角、余角、逆数
\[
\cos^{\bullet}x+\sin^{\bullet}x=\frac{\pi}{2}
\]
線型隣接二項間漸化式
\[
a_{n+1}=p(n)a_{n}+q(n)
\]
漸化式の基本
\[
a_{n+1}=a_{n}+d
\]
リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]
完備リーマンゼータ関数の関数等式
\[
\xi(s)=\xi(1-s)
\]
リーマンゼータ関数の関数等式
\[
\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s)
\]
対数の公式
\[
\log M-\log N=\log\frac{M}{N}
\]
対数の基本公式
\[
\log M+\log N=\log MN
\]