ガウスの乗法公式
\[
\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
カテゴリー: 数学
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
sinc関数のn乗広義積分
\[
\int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)!}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\sgn(n-2k)
\]
対数関数のn回積分
\[
\left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!}
\]
ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)
\]
ベータ関数とガンマ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\]
ベータ関数の関数等式
\[
xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
\]
ベータ関数になる積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)
\]
多重対数関数の漸化式
\[
Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}
\]
多重対数関数の基本的性質
\[
\Li_{1}(z)=-\log(1-z)
\]
多重対数関数の定義
\[
Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}}
\]
(*)平方剰余の相互法則と補充法則
\[
QR(p,q)QR(q,p)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}
\]
オイラーの規準
\[
QR(a,p)\overset{p}{\equiv}a^{\frac{p-1}{2}}
\]
(*)原始根定理
\[
\varphi(p-1)
\]
オイラーのトーシェント関数の性質
\[
\phi(p^{n})=p^{n}-p^{n-1}
\]
オイラーのトーシェント関数の定義
\[
\phi(n) =\#\left\{ k\in\mathbb{N};1\leq k\leq n,\gcd(k,n)=1\right\}
\]
位数と原始根の定義
\[
a^{n}\overset{p}{\equiv}1
\]
平方剰余の定義
\[
QR(a,p)
\]
2元1次不定方程式の整数解とユークリッドの互除法
\[
ax+by=c
\]
二元不定方程式が整数解を持つ
\[
ax+by=c\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow c\text{は}\gcd(a,b)\text{の倍数}
\]
二元不定方程式
\[
ax+by=c
\]
2元1次不定方程式の性質
\[
ax+by=c\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow c\text{は}\gcd(a,b)\text{の倍数}
\]
整数論の基本定理
\[
ax+by=1\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow a\text{と}b\text{は互いに素}
\]
完全剰余系の基本定理
\[
1a,2a,3a,\cdots\cdots,na
\]
ユークリッドの互除法
\[
\gcd(a,b)=\gcd(b,r)
\]
中心極限定理
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1)
\]
大数の法則
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0
\]
チェビシェフの不等式
\[
P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}}
\]
マルコフの不等式
\[
P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon}
\]
相関係数の基本的性質
\[
\rho(X,aY+b)=\rho(X,Y)
\]