代数学 2020年6月19日 e^(ikx)の和 \[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
階乗冪 2020年6月17日 階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の1/2値 \[ P\left(-\frac{1}{2},n\right)=\frac{(-1)^{n}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \]
階乗冪 2020年6月16日 階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の微分 \[ \frac{d}{dx}P(x,y) =P(x,y)\left\{ \psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right\} \]
代数学 2020年5月25日 連続で出来る部分分数分解 \[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
ガンマ関数 2020年5月21日 ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式 \[ \psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
3角関数 2020年5月15日 逆三角関数と逆双曲線関数の冪乗積分漸化式 \[ \int\sin^{\bullet,n}xdx=x\sin^{\bullet,n}x+n\sqrt{1-x^{2}}\sin^{\bullet,n-1}x-n(n-1)\int\sin^{\bullet,n-2}xdx \]
3角関数 2020年5月14日 三角関数と双曲線関数の冪乗積分漸化式 \[ \int\sin^{n}xdx=-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}xdx\qquad(n\ne0) \]
解析学 2020年5月13日 ファウルハーバー公式(冪乗和公式) \[ \sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right) \]
3角関数 2020年5月11日 逆三角関数と逆双曲線関数の級数表示 \[ \sin^{\bullet}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C\left(2k,k\right)}{4^{k}(2k+1)}x^{2k+1}\qquad,(|x|\leq1) \]
3角関数 2020年5月5日 双曲線関数と三角関数の級数展開 \[ \tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\left(2^{2k}-1\right)B_{2k}}{(2k)!}x{}^{2k-1} \]
解析学 2020年5月4日 ベッセル関数のポアソン積分表示 \[ J_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}e^{izt}dt \]