固有値の性質
\[\tr\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\]
行列の対角化可能性
\[\text{対角化可能}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n\]
固有空間の次元と幾何学的重複度
\[\dim W\left(\lambda_{0}\right)=n-\rank\left(\lambda_{0}I-A\right)\]
線形包の定義
\[\left\langle S\right\rangle =\left\{ \sum_{i=1}^{r}c_{i}\boldsymbol{v}_{i};r<\infty,\left\{ \boldsymbol{v}_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq S,\left\{ c_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq K\right\} \]
固有方程式・固有値・固有ベクトルと固有空間
\[W\left(\lambda\right)=\ker\left(A-\lambda I\right)\]
固有多項式・最小多項式の性質
固有多項式・最小多項式ともに固有値を代入すると0になる。
固有多項式と最小多項式の定義
\[p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)\]
対角行列の性質
\[\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right)\]
べき等行列の性質
べき等行列はユニタリ行列で対角化が可能である。
べき零行列の性質
べき零行列$N$は正則ではない。
同次連立1次方程式の定義と性質
\[A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\]
連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
\[\left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}\end{array}\right)\]
(*)階数の性質
\[\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[\rank\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)=2\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
クラメルの公式
\[x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)}\]
行基本変形・列基本変形と基本行列
\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d\\e & f & g & h\\i & j & k & l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d\\i & j & k & l\\e & f & g & h\end{array}\right)\]
余因子行列の性質
\[\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)\]
行列式の性質
\[\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det\left(B\right)\]
行列式の基本性質
\[\det\left(\boldsymbol{a}_{\sigma\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\sigma\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\sigma\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\sigma\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\]
余因子展開と逆行列
\[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A\]
行列式・余因子行列・トレースの定義
\[\det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n,\sigma\left(n\right)}\]