カテゴリー: 数学
ロウソクは何本残る？
3本のロウソクは次の日に何本残る？
点灯パズル
全てのマスのライトを付けるにはどうすればいいでしょうか？
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
元の位置に戻ってきた
南に100m、東に100m、北に100mで元の位置に戻ってきたのは何故？
誕生日問題
何人いれば誕生日が同じ人がいる確率が50%を超える？
階乗を和に直しましょう
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\left(3n\right)!}{\left(2n\right)!}}=?
\]
ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(BCH公式)
\[
e^{A}e^{B}=\exp\left(A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{12}\left[A-B,\left[A,B\right]\right]+\cdots\right)
\]
交換子が定数になるときの性質
\[
\left[A^{n},B\right]=n\left[A,B\right]A^{n-1}
\]
積の交換子の性質
\[
\left[A^{n},B\right]=\sum_{k=1}^{n}A^{n-k}\left[A,B\right]A^{k-1}
\]
反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
\[
\left[AB,C\right]=A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B
\]
交換子の基本的性質(交換関係)
\[
\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]
\]
エルミートと交換子・反交換子
\[
A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left[A,B\right]^{*}=-\left[A,B\right]
\]
交換子・反交換子と指数関数の定義
\[
\left[\hat{A},\hat{B}\right]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}
\]
項別積分と項別微分
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx
\]
極限と積分・微分の順序変更
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx
\]
各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係
\[
\text{一様収束}\Rightarrow\text{各点収束}
\]
一様コーシー列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon
\]
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0
\]
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]