外接円を持つ4角形の角度と対角線の長さ
\[p=\sqrt{\frac{cd\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(c^{2}+d^{2}\right)}{ab+cd}}\]
接弦定理
\[\angle BAP=\angle BCA\]
2等分線同士のなす角
\[\angle CPB=\frac{\pi+\angle CAB}{2}\]
角の2等分線の性質
\[\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}\]
中点連結定理
\[\left|BC\right|=2\left|MN\right|\]
チェバの定理・メネラウスの定理とその逆
\[\frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=1\]
スチュワートの定理と中線定理と平行4辺形公式
\[xa^{2}+yb^{2}=c\left(d^{2}+xy\right)\]
3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
\[\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}\]
チャップル・オイラーの定理とオイラーの不等式と外接円の半径と内接円の半径の比
\[\left|IJ\right|^{2}=R^{2}-2Rr\]
双心4角形の面積
\[S=\sqrt{abcd}\]
双心4角形の作図方法
円に内接する4角形の対角の和
\[\angle DAB+\angle BCD=\pi\]
軌跡・領域での順像法と逆像法
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!\]
ディリクレの判定法
懐中電灯を使って橋渡り
ζ(2)のような総和
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+1}=?\]
鉛筆と消しゴムの値段
定数係数隣接3項間線形非同次漸化式
\[pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=s\]
定数係数隣接3項間線形(同次・非同次)漸化式
\[pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=f\left(x\right)\]
方べきの定理
\[\left|PA_{1}\right|\left|PA_{2}\right|=\left|OP\right|^{2}-r^{2}\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[\angle BOA=2\angle BPA\]
面積ベクトルと角度の符号
\[\overrightarrow{\triangle ABC}:=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}\]
連分数の収束子の奇偶性
\[\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}\]
連分数と最大公約数
\[\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1\]
無限連分数の収束条件
\[\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty\]
連分数の収束子と漸化式
\[\frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}}\prod_{j=0}^{k-1}b_{j}\]
(*)簡単な連分数展開
\[\left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)\]
連分数の性質
\[\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right]\]
連分数の定義
\[\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}}\]