カテゴリー: 数学

微分積分

2024年1月25日

べき乗を含む0から∞までの定積分

\[ \Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt \]

複素数

2024年1月24日

積が非負実数のべき乗

\[ \left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma} \]

ガウス積分

2024年1月22日

ガウス積分の一般化

\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \]

ガウス積分

2024年1月21日

ガウス積分

\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \]

ガウス積分

2024年1月19日

フレネル積分の級数表示

\[ \int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{4k+3}}{\left(2k+1\right)!\left(4k+3\right)} \]

ガウス積分

2024年1月17日

フレネル積分の一般化

\[ \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a} \]

ガウス積分

2024年1月15日

フレネル積分の値

\[ \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4} \]

ガウス積分

2024年1月14日

フレネル積分の定義

\[ S\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx \]

積分問題

2024年1月12日

分子が対数で分母が多項式の定積分

\[ \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=? \]

論理問題

2024年1月11日

積み木の積み上げ問題

積み木を積み重ねると最大でどれだけずらせることが出来るのか？

論理問題

2024年1月10日

4枚カード問題(ウェイソン選択課題)

仮説を検証するにはどのカードの裏面を確認する必要があるか？

積分問題

2024年1月8日

床関数の総和の2乗の定積分

\[ \int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=? \]

総和・総乗

2024年1月7日

1-1+1-1+…と続く総和

\[ \sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2} \]

微分積分

2024年1月5日

対数を含む積分

\[ \int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0} \]

複素数

2024年1月4日

指数関数の実部と虚部

\[ \left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)} \]

複素数

2024年1月3日

対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い

\[ \Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right) \]

複素数

2024年1月1日

複素数の実部と虚部

\[ \Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right) \]

実数論

2023年12月30日

実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義

\[ \left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x \]

実数論

2023年12月29日

チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係

\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} \]

実数論

2023年12月27日

級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在

\[ \exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a \]

実数論

2023年12月26日

チェザロ総和とチェザロ平均の定義

\[ m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n} \]

実数論

2023年12月24日

上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係

\[ \left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \]

実数論

2023年12月23日

上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積

\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]

実数論

2023年12月21日

上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和

\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]

実数論

2023年12月20日

極限と上極限・下極限との関係

\[ \exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right) \]

実数論

2023年12月18日

上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍

\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \]

実数論

2023年12月17日

上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係

\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]

実数論

2023年12月16日

上極限・下極限は存在

実数論

2023年12月14日

単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在

実数論

2023年12月12日

実数列の上極限と下極限の定義

\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \]