対数同士の積の積分
\[
\int_{0}^{1}\log\left(x\right)\log\left(1+x\right)dx=?
\]
カテゴリー: 積分問題
指数関数を分母と分子に含む対数の定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\log\left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)dx=?
\]
イータ関数の導関数がでてきます
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{1+e^{x}}dx=?
\]
分母にxの20乗がある定積分
\[
\int_{2}^{\infty}\frac{x^{9}}{x^{20}-48x^{10}+575}dx=?
\]
複雑な2重根号を含む定積分
\[
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}dx=?
\]
分母に正接がある関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?
\]
分母分子に3角関数を含む定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\left(\sin x+\cos x\right)^{2}}dx=?
\]
ガンマ関数を2つ含む定積分でカタラン定数が出てきます
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\Gamma\left(1-x\right)\Gamma\left(1+x\right)dx=?
\]
複素ガンマ関数2つを含む広義積分
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\Gamma\left(1-ix\right)\Gamma\left(1+ix\right)dx=?
\]
気付かないと解けないかも
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(a^{2}+\log^{2}x\right)}dx=?
\]
πとγがでてくる定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(x\right)}{x}dx=?
\]
γとπが出てくる定積分
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log^{2}\left(x\right)dx=?
\]
分子が対数で分母が多項式の定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=?
\]
床関数の総和の2乗の定積分
\[
\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?
\]
sinの3乗をｘの2乗で割った定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}dx=?
\]
分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z\pm1\right)\sqrt{z^{2}-1}}dz=\frac{\sqrt{z^{2}-1}}{\pm z+1}+C
\]
tanの立方根の積分
\[
\int\sqrt[3]{\tan x}dx=\frac{1}{4}\log\left(\tan^{\frac{4}{3}}x-\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan^{\bullet}\left(\frac{2\tan^{\frac{2}{3}}x-1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{2}\log\left(\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+C
\]
tanの平方根の積分
\[
\int\sqrt{\tan x}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x-\sqrt{2\tan x}+1\right)-\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x+\sqrt{2\tan x}+1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\bullet}\left(\sqrt{2\tan x}-1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\bullet}\left(\sqrt{2\tan x}+1\right)+C
\]
対数のルート積分
\[
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\]
分母に2乗根と3乗根の積分
\[
\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)
\]
分母に(1+x²)²を含む積分
\[
\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C
\]