元の位置に戻ってきた
南に100m、東に100m、北に100mで元の位置に戻ってきたのは何故？
カテゴリー: 問題
誕生日問題
何人いれば誕生日が同じ人がいる確率が50%を超える？
階乗を和に直しましょう
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\left(3n\right)!}{\left(2n\right)!}}=?
\]
分母に正接がある関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?
\]
分母に総和がある数の総和
\[
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=?
\]
分母分子に3角関数を含む定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\left(\sin x+\cos x\right)^{2}}dx=?
\]
3乗根の有理化
\[
\frac{1}{2\cdot3^{\frac{2}{3}}+3\cdot3^{\frac{1}{3}}+2}\text{の有理化}
\]
2つの整数の逆数を足すと和の逆数になる整数は存在するか？
\[
\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{m+n},m=?,n=?
\]
表と裏のコインの枚数を揃える
目隠しされていて表と裏のコインの枚数を揃えるにはどうすればいいでしょうか？
下りエレベータの確率
次にエレベーターが着いたときに下りの確率はいくつでしょうか？
ガンマ関数を2つ含む定積分でカタラン定数が出てきます
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\Gamma\left(1-x\right)\Gamma\left(1+x\right)dx=?
\]
複素ガンマ関数2つを含む広義積分
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\Gamma\left(1-ix\right)\Gamma\left(1+ix\right)dx=?
\]
2項係数の3の倍数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k\right)=?
\]
係数が何の値か気付けるかな
\[
x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16},\frac{1}{x^{5}}+\frac{5}{x^{4}}+\frac{10}{x^{3}}+\frac{10}{x^{2}}+\frac{5}{x}+1=?
\]
展開はしないほうがいいです
\[
\left(x+y\right)^{2}\left(xy-1\right)+1\text{を因数分解}
\]
まずは分母から処理しましょう
\[
\frac{2^{11}+3^{8}+6^{5}}{2^{5}+2^{8}+3^{6}}=?
\]
分母にルート同士の和がある総和
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?
\]
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]
分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
簡単に見えますが厳密に解くのは手間がかかります
\[
a=\frac{bx}{x-c},x=?
\]
答えを求めるだけなら簡単
\[
\sqrt{x^{2}-9}=x-2,x=?
\]
根号の中に根号がある整数問題
\[
\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\in\mathbb{N},n=?
\]
2乗同士の差が素数のときその差はいくつになる？
$m^{2}-n^{2}$が素数のとき、$m-n$は？
xのx乗がxになる方程式
\[
x^{x}=x,x=?
\]
3連続数字の積に１を足した根号
\[
\sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=?
\]
気付かないと解けないかも
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(a^{2}+\log^{2}x\right)}dx=?
\]
aのa乗にして解く問題
\[
27^{x}x=1,x=?
\]
2人の曜日と性別問題
子供が2人いて少なくとも1人は日曜日に生まれた男の子のとき、2人共男の子の確率は？
2枚のコインの裏表問題
2枚のコインを投げて少なくとも1枚が表のとき両方が表の確率は？