距離空間の有界・直径と全有界の定義

by nomura · 2023年5月16日

距離空間の有界・直径と全有界の定義

(1)距離空間の有界・直径

距離空間$\left(X,d\right)$が与えられているとき、部分集合$A$のある元$b\in A$とある$r>0$が存在し、任意の元$a\in A$に対し、$d\left(a,b\right)<r$となるとき$A$は有界であるという。
$A$が有界であるとき、集合$A$の直径(diameter)を
\[ \diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\} \] で定義する。
有界でないときは$\diam\left(A\right)=+\infty$と定義する。

(2)距離空間の全有界

距離空間$\left(X,d\right)$が任意の$\epsilon>0$に対し、ある$X$の有限個の点$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$が存在し、$X=U\left(x_{1};\epsilon\right)\cup U\left(x_{2};\epsilon\right)\cup\cdots\cup U\left(x_{n};\epsilon\right)=\bigcup_{k=1}^{n}U\left(x_{k};\epsilon\right)$とできるとき$\left(X,d\right)$は全有界という。
または任意の$\epsilon>0$に対しある有限集合$B\subseteq X$が存在し、$X\subseteq\bigcup_{b\in B}U\left(b,\epsilon\right)$とできるとき$\left(X,d\right)$は全有界という。
ここで$U\left(x_{1};\epsilon\right)$は$\epsilon$近傍である。
すなわち、任意の$\epsilon>0$に対し各元が半径$\epsilon$の有限被覆が存在するとき、$X$は全有界であるという
$\left(X,d\right)$の部分距離空間$\left(A,d_{A}\right)$についても同様に全有界が定義される。

距離空間$\left(X,d\right)$があるとき、$X$の部分集合$A,B\subseteq X$について、$A\subseteq B\Rightarrow\diam\left(A\right)\leq\diam\left(B\right)$が成り立つ。
\begin{align*} \diam\left(A\right) & =\sup\left\{ d\left(a,b\right),a,b\in A\right\} \\ & \leq\sup\left\{ d\left(a,b\right),a,b\in B\right\} \\ & =\diam\left(B\right) \end{align*} となるからである。

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$A\subseteq X$が有界であることと、任意の$x\in X$に対し、ある$r>0$が存在し、$A\subseteq B\left(x,r\right)$となることは同値である。

$\Rightarrow$

有界であるとき、ある$a\in A,r>0$が存在し、$A\subseteq B\left(a,r\right)$である。
このとき、任意の$x\in X$に対し、$b\in A$として$d\left(x,a\right)\leq d\left(x,A\right)+\diam\left(A\right)$となるので、$d\left(x,A\right)+\diam\left(A\right)\leq r$ととれば$a\in B\left(x,r\right)$となるので、$A\subseteq B\left(x,r\right)$となる。

$\Leftarrow$

任意の$x\in X$に対し、ある$r>0$が存在し、$A\subseteq B\left(x,r\right)$となるとき、$x$を$A$から選べば明らかに有界となる。

$\Leftrightarrow$

従って$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

距離空間$\left(\mathbb{R},d\right)$を実数$\mathbb{R}$と通常距離$d$をとるとする。
$\left[0,1\right)$は$b=0,r=1$と選ぶと任意の$b\in\left[0,1\right)$に対し、$d\left(a,0\right)<1$なので有界であり、直径は$\diam\left(A\right)=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in\left[0,1\right)\right\} =1$となる。
$\left[0,1\right)$は任意の$\epsilon>0$に対し、$B=\left\{ \epsilon n;n\in\left\{ 0,1,\cdots,\left\lceil \frac{1}{\epsilon}\right\rceil -1\right\} \right\} $とすると、$\left[0,1\right)$$\subseteq\bigcup_{b\in B}U\left(b,\epsilon\right)$となるので全有界となる。
$\left[0,\infty\right)$は任意の元$b\in A$と任意の$r>0$に対し$a=b+r$ととれば$d\left(a,b\right)\geq r$となるので有界ではなく、$\diam\left(A\right)=+\infty$となる。
$\left[0,\infty\right)$は全有界と仮定すると、任意の$\epsilon>0$に対しある有限集合$B\subseteq X$が存在し、$X\subseteq\bigcup_{b\in B}U\left(b,\epsilon\right)$と被覆できるが、点$\max\left(B\right)+\epsilon$は被覆できてないので矛盾となり背理法より全有界ではない。

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