(1)

密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は弧状連結である。
\(2\)\(\leq\left|X\right|\)のとき\(X=\left\{ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right\} \)として、連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow\left\{ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right\} \)が、\(f\left(0\right)=a_{j},f\left(1\right)=a_{k}\)を満たすには、
\(x\in\left[0,\frac{1}{2}\right)\)のとき\(f\left(x\right)=a_{j}\)
\(x\in\left[\frac{1}{2},1\right]\)のとき\(f\left(x\right)=a_{k}\)
とすればいい。
このとき、\(f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset,f^{\bullet}\left(X\right)=\left[0,1\right]\)となり開集合の逆像は開集合になるので、\(f\)は連続となる。
\(\left|X\right|=0,\left|X\right|=1\)のときも弧状連結となる。
これより、密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は弧状連結となる。

(2)

\(2\leq\left|X\right|\)のとき、離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は弧状連結ではない。
何故なら、「弧状連結ならば連結」の対偶は「連結でないならば弧状連結でない」となり、\(2\leq\left|X\right|\)の離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は連結でないので弧状連結ではない。

(2)-2

別の証明
背理法により示す。
\(X\)が弧状連結であると仮定する。
\(X\)の任意の異なる2点\(a,b\in X\)をとると、連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X\)は\(f\left(a\right)=0,f\left(b\right)=1\)となる道が存在する。
離散位相なので1点集合は閉集合かつ開集合なので\(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right),f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\)も共に閉集合かつ開集合になり、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cap f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)=f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset\)とならなければいけない。
しかし、\(\left[0,1\right]\)は連結であるので閉集合かつ開集合となるのは\(\emptyset,\left[0,1\right]\)しかないが、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\emptyset\lor f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\emptyset\)は弧状連結であるという仮定に矛盾。
従って\(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\left[0,1\right]\land f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\left[0,1\right]\)とならなければいけないが、\(\emptyset=f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cap f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\left[0,1\right]\cap\left[0,1\right]=\left[0,1\right]\ne\emptyset\)となり矛盾。
故に\(2\leq X\)のとき、離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は弧状連結ではない。

(3)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の1点集合\(\left\{ a\right\} \)は弧状連結である。
何故なら定値写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X,x\mapsto f\left(x\right)=a\)をとればいい。

(4)

シェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)は弧状連結である。
連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow\left\{ a,b\right\} \)が、\(f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)を満たすには
\(x\in\left[0,\frac{1}{2}\right)\)のとき\(f\left(x\right)=a\)
\(x\in\left[\frac{1}{2},1\right]\)のとき\(f\left(x\right)=b\)
とすると、\(f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset,f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{2}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)=f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)=f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cup f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{2}\right)\cup\left[\frac{1}{2},1\right]=\left[0,1\right]\)となり開集合の逆像は開集合になるので、\(f\)は連続となる。
逆向き\(f\left(0\right)=b,f\left(1\right)=a\)のときも同様にすればいい。
これより、\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)は弧状連結となる。

(5)

位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)は弧状連結である。
連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow\left\{ a,b,c\right\} \)が、\(f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)を満たすには
\(x\in\left[0,\frac{1}{3}\right)\)のとき\(f\left(x\right)=a\)
\(x\in\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right]\)のとき\(f\left(x\right)=c\)
\(x\in\left(\frac{2}{3},1\right]\)のとき\(f\left(x\right)=b\)
とすると、\(f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset,f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{3}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\left(\frac{2}{3},1\right],f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{2}{3},1\right],f^{\bullet}\left(\left\{ a,b,c\right\} \right)=\left[0,1\right]\)となり開集合の逆像は開集合になるので、\(f\)は連続となる。
\(f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=c\)を満たすには
\(x\in\left[0,\frac{1}{2}\right)\)のとき\(f\left(x\right)=a\)
\(x\in\left[\frac{1}{2},1\right]\)のとき\(f\left(x\right)=c\)
とすると、\(f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset,f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{2}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\emptyset,f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{2}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ a,b,c\right\} \right)=\left[0,1\right]\)となり開集合の逆像は開集合になるので、\(f\)は連続となる。
また、\(f\left(0\right)=b,f\left(1\right)=c\)も同様にすればいい。
逆向き\(f\left(0\right)=b,f\left(1\right)=a\)と\(f\left(0\right)=c,f\left(1\right)=a\)と\(f\left(0\right)=c,f\left(1\right)=b\)も同様にすればいい。
これより、\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)は弧状連結となる。

(6)

位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)は弧状連結である。
連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow\left\{ a,b,c\right\} \)が、\(f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)を満たすには
\(x\in\left[0,\frac{1}{2}\right)\)のとき\(f\left(x\right)=a\)
\(x\in\left[\frac{1}{2},1\right]\)のとき\(f\left(x\right)=b\)
とすると、\(f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset,f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{2}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)=\left[0,1\right],f^{\bullet}\left(\left\{ a,c\right\} \right)=\left[0,\frac{1}{2}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ a,b,c\right\} \right)=\left[0,1\right]\)となり開集合の逆像は開集合になるので、\(f\)は連続となる。
\(f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=c\)も同様にすればいい。
\(f\left(0\right)=b,f\left(1\right)=c\)を満たすには
\(x\in\left[0,\frac{1}{3}\right]\)のとき\(f\left(x\right)=b\)
\(x\in\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\)のとき\(f\left(x\right)=a\)
\(x\in\left[\frac{2}{3},1\right]\)のとき\(f\left(x\right)=c\)
とすると、\(f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset,f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)=\left[0,\frac{2}{3}\right),f^{\bullet}\left(\left\{ a,c\right\} \right)=\left(\frac{1}{3},1\right],f^{\bullet}\left(\left\{ a,b,c\right\} \right)=\left[0,1\right]\)となり開集合の逆像は開集合になるので、\(f\)は連続となる。
逆向き\(f\left(0\right)=b,f\left(1\right)=a\)と\(f\left(0\right)=c,f\left(1\right)=a\)と\(f\left(0\right)=c,f\left(1\right)=b\)も同様にすればいい。
これより、\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)は弧状連結となる。