第1可算空間であるなら基本近傍系は減少列にとれる
第1可算空間であるなら基本近傍系は減少列にとれる
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が第1可算空間であるなら\(X\)の任意の元\(a\)に対し基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x,n};n\in\mathbb{N}\right\} \)を減少列にとれる。
すなわち、\(B_{x,1}\supseteq B_{x,2}\supseteq\cdots\supseteq B_{x,n}\supseteq\cdots\)ととれる。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が第1可算空間であるなら\(X\)の任意の元\(a\)に対し基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x,n};n\in\mathbb{N}\right\} \)を減少列にとれる。
すなわち、\(B_{x,1}\supseteq B_{x,2}\supseteq\cdots\supseteq B_{x,n}\supseteq\cdots\)ととれる。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離\(d\)をいれた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)では\(a\in\mathbb{R}\)の基本近傍系を\(\left(U\left(a,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{R}\right)\)ととれば\(U\left(a,1\right)\supseteq U\left(a,\frac{1}{2}\right)\supseteq\cdots\)\(\supseteq U\left(a,\frac{1}{n}\right)\supseteq\cdots\)と減少列になる。
第1可算空間なので基本近傍系は\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x,n};n\in\mathbb{N}\right\} \)と可算濃度で表される。
このとき、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n}B_{x,k}\)ととると、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n-1}B_{x,k}\cap B_{x,n}=B_{x,n-1}'\cap B_{x,n}\)となり\(B_{x,n-1}'\supseteq B_{x,n}'\)なので減少列となる。
次にこの\(\mathcal{B}_{x}'=\left\{ B_{x,n}';n\in\mathbb{N}\right\} \)が基本近傍系になっていることを示す。
\(x\in X\)の任意の近傍\(U_{x}\)に対し、ある\(B_{x,n}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(\mathcal{B}_{x}\)は基本近傍系なので\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\)を満たす。
ここで、\(B_{x,n}'\subseteq B_{x,n}\)であるので、\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\rightarrow x\in B_{x,n}'\subseteq U_{x}\)となる。
従って、\(\mathcal{B}_{x}'\)も基本近傍系となる。
故に基本近傍系は減少列にとれる。
このとき、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n}B_{x,k}\)ととると、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n-1}B_{x,k}\cap B_{x,n}=B_{x,n-1}'\cap B_{x,n}\)となり\(B_{x,n-1}'\supseteq B_{x,n}'\)なので減少列となる。
次にこの\(\mathcal{B}_{x}'=\left\{ B_{x,n}';n\in\mathbb{N}\right\} \)が基本近傍系になっていることを示す。
\(x\in X\)の任意の近傍\(U_{x}\)に対し、ある\(B_{x,n}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(\mathcal{B}_{x}\)は基本近傍系なので\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\)を満たす。
ここで、\(B_{x,n}'\subseteq B_{x,n}\)であるので、\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\rightarrow x\in B_{x,n}'\subseteq U_{x}\)となる。
従って、\(\mathcal{B}_{x}'\)も基本近傍系となる。
故に基本近傍系は減少列にとれる。
ページ情報
タイトル | 第1可算空間であるなら基本近傍系は減少列にとれる |
URL | https://www.nomuramath.com/cgdo3670/ |
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2項係数とベータ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}
\]
リーマンゼータ関数の関数等式
\[
\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s)
\]
(拡張)多重階乗と階乗の関係
\[
\left(an+b\right)!_{a}=\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!}
\]
(*)分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z+\alpha\right)\sqrt{z^{2}+\beta}}dz=\frac{\tanh^{\bullet}\left(\frac{\alpha z-\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}\sqrt{\beta+z^{2}}}\right)}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}}
\]