(1)

ベルヌーイ数の定義より、
\begin{align*} 1 & =\frac{e^{x}-1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k}\\ & =\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^{j-1}}{j!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k}\\ & =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!j!}x^{k+j-1}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!\left(j+1\right)!}x^{k+j}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\frac{B_{k}}{k!\left(j-k+1\right)!}x^{j}\cmt{j\rightarrow j'-k',k\rightarrow k'}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{j}}{\left(j+1\right)!}\sum_{k=0}^{j}C\left(j+1,k\right)B_{k} \end{align*} となる。
両辺を比較すると、
\[ \delta_{0,j}=\frac{1}{\left(j+1\right)!}\sum_{k=0}^{j}C\left(j+1,k\right)B_{k} \] となるので、
\begin{align*} \delta_{0,j} & =\left(j+1\right)!\delta_{0,j}\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(j+1,k\right)B_{k} \end{align*} となる。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \delta_{0,n} & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n+1,k\right)B_{k}\\ & =C\left(n+1,n\right)B_{n}+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n+1,k\right)B_{k}\\ & =\left(n+1\right)B_{j}+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n+1,k\right)B_{k} \end{align*} となるので、\(B_{n}\)について解くと、
\begin{align*} B_{n} & =\frac{1}{n+1}\left(\delta_{0,n}-\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n+1,k\right)B_{k}\right)\\ & =\frac{1}{n+1}\delta_{0,n}-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n+1,k\right)B_{k}\\ & =\delta_{0,n}-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n+1,k\right)B_{k} \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。

(3)

略

(4)

略

(5)

略