ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[ \left(-1\right)^{n}\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
\[ \lim_{x\rightarrow n}\frac{\psi\left(1-z\right)}{\Gamma\left(1-z\right)}=\left(-1\right)^{n}\left(n-1\right)! \]
(1)ディガンマ関数の相反公式
\[ \psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right) \](2)ポリガンマ関数の相反公式
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ \left(-1\right)^{n}\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
(3)
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、\[ \lim_{x\rightarrow n}\frac{\psi\left(1-z\right)}{\Gamma\left(1-z\right)}=\left(-1\right)^{n}\left(n-1\right)! \]
(1)
\begin{align*} \psi(1-z) & =\frac{dz}{d\left(1-z\right)}\frac{d}{dz}\log\Gamma\left(1-z\right)\\ & =-\frac{d}{dz}\log\frac{\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right)}{\Gamma\left(z\right)}\\ & =-\frac{d}{dz}\left\{ \log\pi-\log\sin\left(\pi z\right)-\log\Gamma\left(z\right)\right\} \\ & =\frac{d}{dz}\log\sin\left(\pi z\right)+\frac{d}{dz}\log\Gamma\left(z\right)\\ & =\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\psi\left(z\right) \end{align*} これより、\[ \psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
(1)-2
ガンマ関数の相反公式\[ \Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)=\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right) \] の両辺を\(z\)で微分すると、
\[ \Gamma\left(z\right)\psi\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)-\Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)\psi\left(1-z\right)=-\pi^{2}\sin^{-2}\left(\pi z\right)\cos\left(\pi z\right) \] 整理すると、
\[ \left(\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)\right)\Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)=\pi^{2}\sin^{-1}\left(\pi z\right)\tan^{-1}\left(\pi z\right) \] \(\Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)=\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right)\)なので、
\[ \psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right) \] となる。
(2)
\begin{align*} \psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right) & =\left(\frac{d}{d\left(1-z\right)}\right)^{n}\psi\left(1-z\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dz^{n}}\psi\left(1-z\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dz^{n}}\left(\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\psi\left(z\right)\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\left\{ \psi^{\left(n\right)}\left(z\right)+\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right)\right\} \end{align*} これより、\[ \left(-1\right)^{n}\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
(3)
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、\begin{align*} \lim_{z\rightarrow n}\frac{\psi\left(1-z\right))}{\Gamma\left(1-z\right))} & =\lim_{z\rightarrow n}\frac{\Gamma\left(z\right)}{\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right)}\left\{ \psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)\right\} \\ & =\lim_{z\rightarrow n}\frac{\Gamma\left(z\right)\sin\left(\pi z\right)}{\pi}\left\{ H_{n-1}-\gamma+\pi\frac{\cos\left(\pi z\right)}{\sin\left(\pi z\right)}\right\} \\ & =\cos\left(\pi n\right)\Gamma\left(n\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\left(n-1\right)! \end{align*}
ページ情報
タイトル | ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式 |
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ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
\[
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt
\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[
\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)
\]
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[
\Gamma(n+1)=n!
\]