(1)

確率変数\(X\)をコイントスの\(\bigcirc\)と\(\times\)の並びとして、\(E\left[X\right]\)をその回数の期待値とする。

\(\times\times\times\)の試行回数の期待値

\(\times\times\times\)が出るのは次の4パターンである。
・最初に\(\times\times\times\)と出る。
・最初に\(\times\times\bigcirc\)と出て\(\times\times\bigcirc?\cdots?\times\times\times\)となる。
・最初に\(\times\bigcirc\)と出て\(\times\bigcirc?\cdots?\times\times\times\)となる。
・最初に\(\bigcirc\)と出て\(\bigcirc?\cdots?\times\times\times\)となる。
これより、
\begin{align*} E\left[X\right] & =E\left[X;\times\times\times\right]P\left(\times\times\times\right)+E\left[X;\times\times\bigcirc?\cdots?\times\times\times\right]P\left(\times\times\bigcirc\right)+E\left[X;\times\bigcirc?\cdots?\times\times\times\right]P\left(\times\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc?\cdots?\times\times\times\right]P\left(\bigcirc\right)\\ & =3q^{3}+\left(3+E\left[X\right]\right)q^{2}p+\left(2+E\left[X\right]\right)qp+\left(1+E\left[X\right]\right)p\\ & =\left(pq^{2}+pq+p\right)E\left[X\right]+3q^{3}+3pq^{2}+2pq+p\\ & =\left(pq^{2}+pq+p\right)E\left[X\right]+3q^{2}\left(q+p\right)+2pq+p\\ & =\left(pq^{2}+pq+p\right)E\left[X\right]+3q^{2}+2pq+p\\ & =\left(pq^{2}+pq+p\right)E\left[X\right]+3q\left(q+p\right)-pq+p\\ & =\left(pq^{2}+pq+p\right)E\left[X\right]+3q-pq+p\\ & =\frac{3q-pq+p}{1-\left(pq^{2}+pq+p\right)}\\ & =\frac{p^{2}-3p+3}{-p^{3}+3p^{2}-3p+1}\\ & =\frac{p^{2}-3p+3}{q^{3}} \end{align*}

\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値

\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\times\times\times\)の試行回数の期待値の\(p\)と\(q\)を入れ替えればいいので
\begin{align*} \frac{q^{2}-3q+3}{p^{3}} & =\frac{\left(1-p\right)^{2}-3\left(1-p\right)+3}{p^{3}}\\ & =\frac{p^{2}+p+1}{p^{3}} \end{align*} となる。

\(\times\times\bigcirc\)の試行回数の期待値

\(\times\times\bigcirc\)が出るのは次の4パターンである。
・最初に\(\times\times\bigcirc\)と出る。
・最初に\(\times\times\times\)と出て\(\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\)となる。
・最初に\(\times\bigcirc\)と出て\(\times\bigcirc?\cdots?\times\times\bigcirc\)となる。
・最初に\(\bigcirc\)と出て\(\bigcirc?\cdots?\times\times\bigcirc\)となる。
また、\(\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\)となるのは次の2パターンである。
・最初に\(\times\times\times\)と出て\(\times\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\)となる。
・最初に\(\times\times\times\)と出て\(\times\times\times\bigcirc?\cdots?\times\times\bigcirc\)となる。
これより、
\begin{align*} E\left[X\right] & =E\left[X;\times\times\bigcirc\right]P\left(\times\times\bigcirc\right)+E\left[X;\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\right]P\left(\times\times\times\right)+E\left[X;\times\bigcirc?\cdots?\times\times\bigcirc\right]P\left(\times\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc?\cdots?\times\times\bigcirc\right]P\left(\bigcirc\right)\\ & =3q^{2}p+E\left[X;\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\right]q^{3}+\left(2+E\left[X\right]\right)qp+\left(1+E\left[X\right]\right)p\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+3pq^{2}+2pq+p+q^{3}E\left[X;\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\right]\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+3pq^{2}+2pq+p+q^{3}\left\{ E\left[X;\times\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\right]P\left(\times\times\times\times;\times\times\times\right)+E\left[X;\times\times\times\bigcirc?\cdots?\times\times\bigcirc\right]P\left(\times\times\times\bigcirc;\times\times\times\right)\right\} \\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+3pq^{2}+2pq+p+q^{3}\left\{ \left(1+E\left[X;\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\right]\right)q+4p\right\} \\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+3pq^{2}+2pq+p+q^{3}\left\{ qE\left[X;\times\times\times?\cdots?\times\times\bigcirc\right]+q+4p\right\} \\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+3pq^{2}+2pq+p+q^{3}\cdot\frac{q+4p}{1-q}\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+\frac{1}{p}\\ & =\frac{1}{p\left(1-\left(pq+p\right)\right)}\\ & =\frac{1}{p\left(q-pq\right)}\\ & =\frac{1}{p^{2}q} \end{align*}

\(\bigcirc\bigcirc\times\)の試行回数の期待値

\(\bigcirc\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(\times\times\bigcirc\)の試行回数の期待値の\(p\)と\(q\)を入れ替えればいいので\(\frac{1}{q^{2}p}\)となる。

\(\times\bigcirc\times\)の試行回数の期待値

\(\times\bigcirc\times\)が出るのは次の4パターンである。
・最初に\(\times\bigcirc\times\)と出る。
・最初に\(\times\bigcirc\bigcirc\)と出て\(\times\bigcirc\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\times\)となる。
・最初に\(\times\times\)と出て\(\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\)となる。
・最初に\(\bigcirc\)と出て\(\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\times\)となる。
また、\(\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\)となるのは次の3パターンである。
・最初に\(\times\times\)と出て\(\times\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\)となる。
・最初に\(\times\times\)と出て\(\times\times\bigcirc\times?\cdots?\times\bigcirc\times\)となる。
・最初に\(\times\times\)と出て\(\times\times\bigcirc\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\times\)となる。
これより、
\begin{align*} E\left[X\right] & =E\left[X;\times\bigcirc\times\right]P\left(\times\bigcirc\times\right)+E\left[X;\times\bigcirc\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\times\right]P\left(\times\bigcirc\bigcirc\right)+E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]P\left(\times\times\right)+E\left[X;\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\times\right]P\left(\bigcirc\right)\\ & =3qpq+\left(3+E\left[X\right]\right)qp^{2}+E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]P\left(\times\times\right)+\left(1+E\left[X\right]\right)p\\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq^{2}+3p^{2}q+p+q^{2}E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]\\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq\left(q+p\right)+p+q^{2}E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]\\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]\cmt *\\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\left\{ E\left[X;\times\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]P\left(\times\times\times;\times\times\right)+E\left[X;\times\times\bigcirc\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]P\left(\times\times\bigcirc\times;\times\times\right)+E\left[X;\times\times\bigcirc\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\times\right]P\left(\times\times\bigcirc\bigcirc;\times\times\right)\right\} \\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\left\{ \left(1+E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]\right)q+4pq+\left(4+E\left[X\right]\right)p^{2}\right\} \\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\left\{ qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]+q+4pq+4p^{2}+p^{2}E\left[X\right]\right\} \\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\left\{ qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]+q+4p\left(q+p\right)+p^{2}E\left[X\right]\right\} \\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\left\{ qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]+q+4p+p^{2}E\left[X\right]\right\} \\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\left\{ qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]+q+p+3p+p^{2}E\left[X\right]\right\} \\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\left\{ qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]+1+3p+p^{2}E\left[X\right]\right\} \\ & =\left(p^{2}q+p\right)E\left[X\right]+3pq+p+q^{2}\cdot\frac{1+3p+p^{2}E\left[X\right]}{p}\cmt{\because E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]=qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\times\right]+1+3p+p^{2}E\left[X\right]}\\ & =\left(p^{2}q+p+pq^{2}\right)E\left[X\right]+3pq+p+\frac{q^{2}+3pq^{2}}{p}\\ & =\left(pq\left(p+q\right)+p\right)E\left[X\right]+\frac{3p^{2}q+p^{2}+q^{2}+3pq^{2}}{p}\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+\frac{3p^{2}q+p^{2}+q^{2}+3pq^{2}}{p}\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+\frac{3pq\left(p+q\right)+p^{2}+q^{2}}{p}\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+\frac{3pq+p^{2}+q^{2}}{p}\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+\frac{\left(p+q\right)^{2}+pq}{p}\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+\frac{1+pq}{p}\\ & =\frac{1+pq}{p\left(1-\left(pq+p\right)\right)}\\ & =\frac{1+pq}{pq^{2}} \end{align*}

\(\bigcirc\times\bigcirc\)の試行回数の期待値

\(\bigcirc\times\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\times\bigcirc\times\)の試行回数の期待値の\(p\)と\(q\)を入れ替えればいいので\(\frac{1+pq}{p^{2}q}\)となる。

\(\bigcirc\times\times\)の試行回数の期待値

\(\bigcirc\times\times\)が出るのは次の4パターンである。
・最初に\(\bigcirc\times\times\)と出る。
・最初に\(\bigcirc\times\bigcirc\)と出て\(\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となる。
・最初に\(\bigcirc\bigcirc\)と出て\(\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となる。
・最初に\(\times\)と出て\(\times?\cdots?\bigcirc\times\times\)となる。
また、\(\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となるのは次の3パターンである。
・最初に\(\bigcirc\times\bigcirc\times\times\)と出る。
・最初に\(\bigcirc\times\bigcirc\)と出て\(\bigcirc\times\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となる。
・最初に\(\bigcirc\times\bigcirc\)と出て\(\bigcirc\times\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となるのは次の3パターンである。
・最初に\(\bigcirc\bigcirc\times\times\)と出る。
・最初に\(\bigcirc\bigcirc\)と出て\(\bigcirc\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となる。
・最初に\(\bigcirc\bigcirc\)と出て\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\)となる。
まず、\(E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\)と\(E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\)を求める。
\begin{align*} E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right] & =E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\times\bigcirc\times\times;\bigcirc\times\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\times\bigcirc\times\bigcirc;\bigcirc\times\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\times\bigcirc\bigcirc;\bigcirc\times\bigcirc\right)\\ & =5q^{2}+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]pq+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]p\\ & =5q^{2}+\left(2+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\right)pq+\left(2+E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\right)p\\ & =pqE\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]+pE\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]+5q^{2}+2pq+2p \end{align*} 移項すると、
\[ \left(1-pq\right)E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]-pE\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]=5q^{2}+2pq+2p \] となる。
\begin{align*} E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right] & =E\left[X;\bigcirc\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\bigcirc\times\times;\bigcirc\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\bigcirc\times\bigcirc;\bigcirc\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\bigcirc\bigcirc;\bigcirc\bigcirc\right)\\ & =4q^{2}+E\left[X;\bigcirc\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]pq+E\left[X;\bigcirc\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]p\\ & =4q^{2}+\left(1+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\right)pq+\left(1+E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\right)p\\ & =pqE\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]+pE\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]+4q^{2}+pq+p \end{align*} 移項すると、
\[ -pqE\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]+\left(1-p\right)E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]=4q^{2}+pq+p \] となる。
これより、\(E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\)と\(E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\)の連立方程式
\[ \left(\begin{array}{cc} 1-pq & -p\\ -pq & 1-p \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\\ E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right] \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 5q^{2}+2pq+2p\\ 4q^{2}+pq+p \end{array}\right) \] となるので、これを解くと、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\\ E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right] \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1-pq & -p\\ -pq & 1-p \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 5q^{2}+2pq+2p\\ 4q^{2}+pq+p \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{pq+p-1}\left(\begin{array}{cc} p-1 & -p\\ -pq & pq-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5q^{2}+2pq+2p\\ 4q^{2}+pq+p \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{pq-q}\left(\begin{array}{cc} -q & -p\\ -pq & pq-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5q^{2}+2pq+2p\\ 4q^{2}+pq+p \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{q\left(p-1\right)}\left(\begin{array}{c} -q\left(5q^{2}+2pq+2p\right)-p\left(4q^{2}+pq+p\right)\\ -pq\left(5q^{2}+2pq+2p\right)+\left(pq-1\right)\left(4q^{2}+pq+p\right) \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{-q^{2}}\left(\begin{array}{c} -\left(3q^{2}+q+1\right)\\ -\left(2q^{2}+q+1\right) \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{q^{2}}\left(\begin{array}{c} 3q^{2}+q+1\\ 2q^{2}+q+1 \end{array}\right) \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} E\left[X\right] & =E\left[X;\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\times\times\right)+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\times\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]P\left(\bigcirc\bigcirc\right)+E\left[X;\times?\cdots?\bigcirc\times\times\right]P\left(\times\right)\\ & =3pq^{2}+E\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]pqp+E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]p^{2}+\left(1+E\left[X\right]\right)q\\ & =qE\left[X\right]+3pq^{2}+q+p^{2}qE\left[X;\bigcirc\times\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]+p^{2}E\left[X;\bigcirc\bigcirc?\cdots?\bigcirc\times\times\right]\\ & =qE\left[X\right]+3pq^{2}+q+p^{2}q\frac{3q^{2}+q+1}{q^{2}}+p^{2}\frac{2q^{2}+q+1}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq^{4}+q^{3}+3p^{2}q^{3}+p^{2}q^{2}+p^{2}q+2p^{2}q^{2}+p^{2}q+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq^{4}+q^{3}+3p^{2}q^{3}+3p^{2}q^{2}+2p^{2}q+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq^{3}\left(q+p\right)+q^{3}+3p^{2}q^{2}+2p^{2}q+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq^{3}+q^{3}+3p^{2}q^{2}+2p^{2}q+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq^{2}\left(q+p\right)+q^{3}+2p^{2}q+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq^{2}+q^{3}+2p^{2}q+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq\left(q+p\right)-p^{2}q+q^{3}+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq-p^{2}q+q^{3}+p^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq+p^{2}\left(1-q\right)+q^{3}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq+p^{3}+q^{3}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq+\left(p+q\right)^{3}-3p^{2}q-3pq^{2}}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq+1-3pq\left(p+q\right)}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{3pq+1-3pq}{q^{2}}\\ & =qE\left[X\right]+\frac{1}{q^{2}}\\ & =\frac{1}{pq^{2}} \end{align*} となる。

\(\times\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値

\(\times\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\bigcirc\times\times\)の試行回数の期待値の\(p\)と\(q\)を入れ替えればいいので\(\frac{1}{p^{2}q}\)となる。

-

まとめると、次のようになる。
\(\times\times\times\)の試行回数の期待値は\(\frac{p^{2}-3p+3}{q^{3}}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\frac{p^{2}+p+1}{p^{3}}\)となる。
\(\times\times\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\frac{1}{p^{2}q}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(\frac{1}{q^{2}p}\)となる。
\(\times\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(\frac{1+pq}{pq^{2}}\)となる。
\(\bigcirc\times\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\frac{1+pq}{p^{2}q}\)となる。
\(\bigcirc\times\times\)の試行回数の期待値は\(\frac{1}{pq^{2}}\)となる。
\(\times\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\frac{1}{p^{2}q}\)となる。
\(p=q=\frac{1}{2}\)のときは、次のようになる。
\(\times\times\times\)の試行回数の期待値は\(14\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(14\)となる。
\(\times\times\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(8\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(8\)となる。
\(\times\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(10\)となる。
\(\bigcirc\times\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(10\)となる。
\(\bigcirc\times\times\)の試行回数の期待値は\(8\)となる。
\(\times\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(8\)となる。

(2)

全く逆のパターン

\(A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},B_{2},B_{3}\)は\(\bigcirc\)または\(\times\)を表し\(\lnot A_{1},\lnot A_{2},\lnot A_{3},\lnot B_{1},\lnot B_{2},\lnot B_{3}\)でその逆を表すとする。
\(A_{1}A_{2}A_{3}\)と\(B_{1}B_{2}B_{3}\)の予想で\(A_{1}A_{2}A_{3}\)の勝率が\(P_{A}\left(p,q\right)\)で\(B_{1}B_{2}B_{3}\)の勝率が\(P_{B}\left(p,q\right)\)のときは、\(\lnot A_{1}\lnot A_{2}\lnot A_{3}\)の勝率は\(p\)と\(q\)を入れ替えた\(P_{A}\left(q,p\right)\)になり、\(\lnot B_{1}\lnot B_{2}\lnot B_{3}\)の勝率は\(P_{B}\left(q,p\right)\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\times\times\bigcirc\)

\(\times\times\times\)と\(\times\times\bigcirc\)のように最初の2つが同じパターンは\(\times\times\)がでて次に決着がつくので勝率は\(\times\times\times\)が\(q\)で\(\times\times\bigcirc\)が\(p\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\times\)

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\times\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\times\)は共に\(\times\)で始まっているので最初の\(\bigcirc\)は無視してもよい。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで、\(\times\times\times\)が勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(q^{3}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで、\(\times\bigcirc\times\)が勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(qpq=pq^{2}\)と\(\times\times\bigcirc\times\)の確率\(qqpq=pq^{3}\)の合計\(pq^{2}+pq^{3}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は
\begin{align*} 1-\left(q^{3}+pq^{2}+pq^{3}\right) & =1-q^{3}-pq^{2}-pq^{3}\\ & =1-\left(1-p\right)q^{2}-pq^{2}-pq^{3}\\ & =1-q^{2}-pq^{3}\\ & =1-\left(1-p\right)^{2}-pq^{3}\\ & =1-\left(1-2p+p^{2}\right)-pq^{3}\\ & =-p^{2}+2p-pq^{3}\\ & =p\left(-p+2-q^{3}\right)\\ & =p\left(-\left(1-p\right)+2-q^{3}\right)\\ & =p\left(1-q^{3}+q\right) \end{align*} となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとも最初の\(\bigcirc\)を無視して\(\times\)から始まると考えてもよい。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(q^{3}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(qpq=pq^{2}\)と\(\times\times\bigcirc\times\)の確率\(qqpq=pq^{3}\)の合計\(pq^{2}+pq^{3}\)となる。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{q^{3}}{q^{3}+pq^{2}+pq^{3}}=\frac{q}{q+p+pq}=\frac{q}{1+pq}\)となり、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(1-\frac{q}{1+pq}=\frac{1+pq-q}{1+pq}=\frac{p+pq}{1+pq}\)となる。
従って、\(\times\times\times\)の勝率は
\begin{align*} q^{3}+p\left(1-q^{3}+q\right)\frac{q}{1+pq} & =\frac{q^{3}\left(1+pq\right)+pq\left(1-q^{3}+q\right)}{1+pq}\\ & =\frac{q^{3}+pq+pq^{2}}{1+pq}\\ & =\frac{q^{2}\left(q+p\right)+pq}{1+pq}\\ & =\frac{q^{2}+pq}{1+pq}\\ & =\frac{q\left(q+p\right)}{1+pq}\\ & =\frac{q}{1+pq} \end{align*} となり、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(1-\frac{q}{1+pq}=\frac{1+pq-q}{1+pq}=\frac{p+pq}{1+pq}=\frac{p\left(1+q\right)}{1+pq}\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)は\(\bigcirc\times\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)は共に\(\times\)で始まっているので最初の\(\bigcirc\)は無視してもよい。
\(\bigcirc\times\)が出るまでで\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(q^{3}\)のみである。
\(\bigcirc\times\)が出るまでで\(\times\bigcirc\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}q\)と\(\times\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}q^{2}\)の合計\(p^{2}q+p^{2}q^{2}\)となる。
また、\(\bigcirc\times\)が出る確率は\(1-\left(q^{3}+p^{2}q+p^{2}q^{2}\right)=1-q^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}\)である。
\(\bigcirc\times\)が出たあとも最初の\(\bigcirc\)を無視して\(\times\)から始まると考えてもよい。
\(\bigcirc\times\)が出て次の\(\bigcirc\times\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(q^{3}\)のみである。
\(\bigcirc\times\)が出て次の\(\bigcirc\times\)が出る前に\(\times\bigcirc\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}q\)と\(\times\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}q^{2}\)の合計\(p^{2}q+p^{2}q^{2}\)となる。
これより、\(\bigcirc\times\)が出たあとの\(\times\times\times\)の勝率は
\begin{align*} q^{3}/\left(q^{3}+p^{2}q+p^{2}q^{2}\right) & =\frac{q^{2}}{q^{2}+p^{2}+p^{2}q}\\ & =\frac{q^{2}}{q^{2}+p^{2}\left(1+q\right)}\\ & =\frac{q^{2}}{q^{2}+\left(1-p\right)\left(1-p\right)\left(1+q\right)}\\ & =\frac{q^{2}}{q^{2}+\left(1-p\right)\left(1-p^{2}\right)}\\ & =\frac{q^{2}}{1-q+q^{3}} \end{align*} となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は
\begin{align*} 1-\frac{q^{2}}{1-q+q^{3}} & =\frac{1-q-q^{2}+q^{3}}{1-q+q^{3}}\\ & =\frac{1-q-q^{2}\left(1-q\right)}{1-q+q^{3}}\\ & =\frac{p-q^{2}p}{1-q+q^{3}}\\ & =\frac{p\left(1-q^{2}\right)}{1-q+q^{3}}\\ & =\frac{p\left(1-q\right)\left(1+q\right)}{1-q+q^{3}}\\ & =\frac{p^{2}\left(2-p\right)}{1-q+q^{3}} \end{align*} となる。
従って、\(\times\times\times\)の勝率は
\begin{align*} q^{3}+\left(1-q^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}\right)\frac{q^{2}}{1-q+q^{3}} & =\frac{q^{3}\left(1-q+q^{3}\right)+\left(1-q^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}\right)q^{2}}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q\left(1-q+q^{3}\right)+\left(1-q^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}\right)}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}+q^{4}+1-q^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}+q^{2}\left(q^{2}-p^{2}\right)+1-q^{3}-p^{2}q}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}+q^{2}\left(q-p\right)\left(q+p\right)+1-q^{3}-p^{2}q}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}+q^{2}\left(q-p\right)+1-q^{3}-p^{2}q}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}+q^{3}-pq\left(q+p\right)+1-q^{3}}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}-pq+1}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}-\left(1-q\right)q+1}{1-q+q^{3}}\\ & =q^{2}\frac{q-q^{2}-q+q^{2}+1}{1-q+q^{3}}\\ & =\frac{q^{2}}{p+q^{3}} \end{align*} となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は
\begin{align*} 1-\frac{q^{2}}{p+q^{3}} & =\frac{p+q^{3}-q^{2}}{p+q^{3}}\\ & =\frac{\left(1-q\right)-q^{2}\left(1-q\right)}{p+q^{3}}\\ & =\frac{p-q^{2}p}{p+q^{3}}\\ & =\frac{p\left(1-q^{2}\right)}{p+q^{3}}\\ & =\frac{p\left(1-q\right)\left(1+q\right)}{p+q^{3}}\\ & =\frac{p^{2}\left(2-p\right)}{p+q^{3}} \end{align*} となる。

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\times\)

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\times\)は最初の3回で\(\times\times\times\)が来ないと\(\bigcirc\times\times\)の勝ちになるので、\(\times\times\times\)の勝率は\(q^{3}\)となり、\(\bigcirc\times\times\)の勝率は\(1-q^{3}=\left(1-q\right)\left(1+q+q^{2}\right)=p\left(1+q+q^{2}\right)\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(pq^{2}\right)^{k}q^{3}=\frac{q^{3}}{1-pq^{2}}\)と\(\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}p\left(pq^{2}\right)^{k}q^{3}=\frac{pq^{3}}{1-pq^{2}}\)と\(\times\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}pq\left(pq^{2}\right)^{k}q^{3}=\frac{pq^{4}}{1-pq^{2}}\)
で合計\(\frac{q^{3}}{1-pq^{2}}+\frac{pq^{3}}{1-pq^{2}}+\frac{pq^{4}}{1-pq^{2}}=\frac{q^{3}+pq^{3}+pq^{4}}{1-pq^{2}}=q^{3}\frac{1+p+pq}{1-pq^{2}}\)である
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\left(\bigcirc\times\times\right)\cdots\left(\bigcirc\times\times\right)\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(pq^{2}\right)^{k}p^{2}q=\frac{p^{2}q}{1-pq^{2}}\)と\(\times\left(\bigcirc\times\times\right)\cdots\left(\bigcirc\times\times\right)\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q\left(pq^{2}\right)^{k}p^{2}q=\frac{p^{2}q^{2}}{1-pq^{2}}\)と\(\times\times\left(\bigcirc\times\times\right)\cdots\left(\bigcirc\times\times\right)\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{2}\left(pq^{2}\right)^{k}p^{2}q=\frac{p^{2}q^{3}}{1-pq^{2}}\)
で合計\(\frac{p^{2}q}{1-pq^{2}}+\frac{p^{2}q^{2}}{1-pq^{2}}+\frac{p^{2}q^{3}}{1-pq^{2}}=\frac{p^{2}q+p^{2}q^{2}+p^{2}q^{3}}{1-pq^{2}}=p^{2}q\frac{1+q+q^{2}}{1-pq^{2}}\)である。
また、\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は
\begin{align*} 1-\left(q^{3}\frac{1+p+pq}{1-pq^{2}}+p^{2}q\frac{1+q+q^{2}}{1-pq^{2}}\right) & =1-q^{3}\frac{1+p+pq}{1-pq^{2}}-p^{2}q\frac{1+q+q^{2}}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{1-pq^{2}-q^{3}\left(1+p+pq\right)-p^{2}q\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{1-pq^{2}-q^{3}-pq^{3}-pq^{4}-p^{2}q\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{1-pq^{2}\left(1+q+q^{2}\right)-q^{3}-p^{2}q\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{1-q^{3}-pq\left(1+q+q^{2}\right)\left(p+q\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{\left(1-q\right)\left(1+q+q^{2}\right)-pq\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{\left(1-q-pq\right)\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{\left(1-\left(1+p\right)q\right)\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{\left(1-\left(1+p\right)\left(1-p\right)\right)\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{\left(1-\left(1-p^{2}\right)\right)\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\\ & =\frac{p^{2}\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}} \end{align*} となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(pq^{2}\right)^{k}q^{3}=\frac{q^{3}}{1-pq^{2}}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\bigcirc\)のみで確率は\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(pq^{2}\right)^{k}pq=\frac{pq}{1-pq^{2}}\)である。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{q^{3}}{1-pq^{2}}/\left(\frac{q^{3}}{1-pq^{2}}+\frac{pq}{1-pq^{2}}\right)=\frac{q^{3}}{1-pq^{2}}/\frac{q^{3}+pq}{1-pq^{2}}=\frac{q^{3}}{q^{3}+pq}=\frac{q^{2}}{q^{2}+p}\)で、\(\bigcirc\times\times\)の勝率は\(1-\frac{q^{2}}{q^{2}+p}=\frac{q^{2}+p-q^{2}}{q^{2}+p}=\frac{p}{q^{2}+p}\)となる。
従って、\(\times\times\times\)が勝つ確率は
\begin{align*} q^{3}\frac{1+p+pq}{1-pq^{2}}+\frac{p^{2}\left(1+q+q^{2}\right)}{1-pq^{2}}\cdot\frac{q^{2}}{q^{2}+p} & =\frac{q^{3}\left(1+p+pq\right)\left(q^{2}+p\right)+p^{2}q^{2}\left(1+q+q^{2}\right)}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q\left(1+p+pq\right)\left(q^{2}+p\right)+p^{2}\left(1+q+q^{2}\right)}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q^{3}+pq^{3}+pq^{4}+pq+p^{2}q+p^{2}q^{2}+p^{2}+p^{2}q+p^{2}q^{2}}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q^{3}+pq^{2}\left(q+p\right)+pq^{4}+p\left(q+p\right)+2p^{2}q+p^{2}q^{2}}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q^{3}+pq^{2}+pq^{4}+p+2p^{2}q+p^{2}q^{2}}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q^{2}\left(q+p\right)+pq^{4}+p+2p^{2}q+p^{2}q^{2}}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q^{2}+pq^{4}+p+2p^{2}q+p^{2}q^{2}}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q^{2}+\left(1-q\right)q^{4}+\left(1-q\right)+2\left(1-q\right)^{2}q+\left(1-q\right)^{2}q^{2}}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{q^{2}+q^{4}-q^{5}+1-q+2q-4q^{2}+2q^{3}+q^{2}-2q^{3}+q^{4}}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{-q^{5}+2q^{4}-2q^{2}+q+1}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{\left(1+q-q^{2}\right)\left(1-q^{2}+q^{3}\right)}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =q^{2}\frac{\left(1+q-q^{2}\right)\left(1-pq^{2}\right)}{\left(1-pq^{2}\right)\left(q^{2}+p\right)}\\ & =\frac{q^{2}\left(1+q-q^{2}\right)}{q^{2}+p}\\ & =\frac{q^{2}\left(1+\left(1-p\right)-\left(1-p\right)^{2}\right)}{q^{2}+p}\\ & =\frac{q^{2}\left(1+p-p^{2}\right)}{q^{2}+p} \end{align*} であり、\(\bigcirc\times\bigcirc\)が勝つ確率は
\begin{align*} 1-\frac{q^{2}\left(1+p-p^{2}\right)}{q^{2}+p} & =\frac{q^{2}+p-q^{2}\left(1+p-p^{2}\right)}{q^{2}+p}\\ & =\frac{q^{2}+p-q^{2}-pq^{2}+p^{2}q^{2}}{q^{2}+p}\\ & =\frac{p-pq^{2}+p^{2}q^{2}}{q^{2}+p}\\ & =p\frac{1-q^{2}+pq^{2}}{q^{2}+p}\\ & =p\frac{\left(1-q\right)\left(1+q\right)+pq^{2}}{q^{2}+p}\\ & =p\frac{p\left(1+q\right)+pq^{2}}{q^{2}+p}\\ & =\frac{p^{2}\left(1+q+q^{2}\right)}{q^{2}+p} \end{align*} となる。

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)は\(\times\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\bigcirc\)が出るまでで\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(q^{3}\)と\(\bigcirc\times\times\times\)の確率\(pq^{3}\)の合計\(q^{3}+pq^{3}\)である。
\(\times\bigcirc\)が出るまでで\(\bigcirc\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\cdots\bigcirc\bigcirc\bigcirc\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}p^{2}q=\frac{p^{2}q}{1-p}=\frac{p^{2}q}{q}=p^{2}\)のみである。
また、\(\times\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(q^{3}+pq^{3}+p^{2}\right)=1-q^{3}-pq^{3}-p^{2}\)となる。
\(\times\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\times\bigcirc\)が出て次の\(\times\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\times\times\)の確率\(q^{3}\)のみである。
\(\times\bigcirc\)が出て次の\(\times\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\bigcirc\cdots\bigcirc\bigcirc\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}pq=\frac{pq}{1-p}=\frac{pq}{q}=p\)のみとなる。
これより、\(\bigcirc\times\)が出たあとの\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{q^{3}}{q^{3}+p}\)となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(1-\frac{q^{3}}{q^{3}+p}=\frac{q^{3}+p-q^{3}}{q^{3}+p}=\frac{p}{q^{3}+p}\)となる。
従って、\(\times\times\times\)の勝率は
\begin{align*} q^{3}+pq^{3}+\left(1-q^{3}-pq^{3}-p^{2}\right)\frac{q^{3}}{q^{3}+p} & =\frac{\left(q^{3}+pq^{3}\right)\left(q^{3}+p\right)+\left(1-q^{3}-pq^{3}-p^{2}\right)q^{3}}{q^{3}+p}\\ & =q^{3}\frac{\left(1+p\right)\left(q^{3}+p\right)+\left(1-q^{3}-pq^{3}-p^{2}\right)}{q^{3}+p}\\ & =q^{3}\frac{q^{3}+p+pq^{3}+p^{2}+1-q^{3}-pq^{3}-p^{2}}{q^{3}+p}\\ & =q^{3}\frac{p+1}{q^{3}+p}\\ & =\frac{q^{3}\left(p+1\right)}{q^{3}+p} \end{align*} となり\(\bigcirc\bigcirc\times\)の勝率は
\begin{align*} 1-\frac{q^{3}\left(p+1\right)}{q^{3}+p} & =\frac{q^{3}+p-q^{3}\left(p+1\right)}{q^{3}+p}\\ & =\frac{q^{3}+p-pq^{3}-q^{3}}{q^{3}+p}\\ & =\frac{p-pq^{3}}{q^{3}+p}\\ & =\frac{p\left(1-q^{3}\right)}{q^{3}+p}\\ & =\frac{p\left(1-q\right)\left(1+q+q^{2}\right)}{q^{3}+p}\\ & =\frac{p^{2}\left(1+q+q^{2}\right)}{q^{3}+p} \end{align*} となる。

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc\)

\(\times\times\times\)が来るには\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc\)が来る前に\(\times\times\times\)が来るとよく、\(\times\times\times\)が来るのは\(\left(0or\bigcirc or\bigcirc\bigcirc\right)\left(\left(\times or\times\times\right)\left(\bigcirc or\bigcirc\bigcirc\right)\right)\cdots\left(\left(\times or\times\times\right)\left(\bigcirc or\bigcirc\bigcirc\right)\right)\times\times\times\)のパターンなので、\(\times\times\times\)の勝率は
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\left(1+p+p^{2}\right)\left(\left(q+q^{2}\right)\left(p+p^{2}\right)\right)^{k}q^{3} & =\left(1+p+p^{2}\right)q^{3}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\left(q+q^{2}\right)\left(p+p^{2}\right)\right)^{k}\\ & =\frac{\left(1+p+p^{2}\right)q^{3}}{1-\left(q+q^{2}\right)\left(p+p^{2}\right)}\\ & =\frac{\left(1+p+p^{2}\right)q^{3}}{1-\left(1-p+\left(1-p\right)^{2}\right)\left(p+p^{2}\right)}\\ & =\frac{\left(1+p+p^{2}\right)q^{3}}{1-\left(1-p+1+p^{2}-2p\right)\left(p+p^{2}\right)}\\ & =\frac{\left(1+p+p^{2}\right)q^{3}}{1-\left(p^{2}-3p+2\right)\left(p+p^{2}\right)}\\ & =\frac{\left(1+p+p^{2}\right)q^{3}}{1-\left(2p-p^{2}-2p^{3}+p^{4}\right)}\\ & =\frac{\left(1+p+p^{2}\right)q^{3}}{1-2p+p^{2}+2p^{3}-p^{4}} \end{align*} となる。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(p\)と\(q\)を入れ替えればよく、\(\frac{\left(1+q+q^{2}\right)p^{3}}{1-2q+q^{2}+2q^{3}-q^{4}}\)となる。

\(\times\times\bigcirc\)と\(\times\bigcirc\times\)

\(\times\times\bigcirc\)と\(\times\bigcirc\times\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}pq^{2}=\frac{pq^{2}}{1-q}=\frac{pq^{2}}{p}=q^{2}\)と\(\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}pq^{k}pq^{2}=\frac{p^{2}q^{2}}{1-q}=\frac{p^{2}q^{2}}{p}=pq^{2}\)の合計\(q^{2}+pq^{2}=\left(1+p\right)q^{2}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(pq^{2}\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\times\)の確率\(p^{2}q^{2}\)の合計\(pq^{2}+p^{2}q^{2}=pq^{2}\left(1+p\right)\)となる。
また、\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は
\begin{align*} 1-\left(\left(1+p\right)q^{2}+pq^{2}\left(1+p\right)\right) & =1-q^{2}-pq^{2}-pq^{2}-p^{2}q^{2}\\ & =\left(1-q\right)\left(1+q\right)-2pq^{2}-p^{2}q^{2}\\ & =p\left(1+q\right)-2pq^{2}-p^{2}q^{2}\\ & =p\left(1+q-2q^{2}-pq^{2}\right)\\ & =p\left(1+q-\left(2+p\right)q^{2}\right)\\ & =p\left(1+1-p-\left(2+p\right)\left(1-p\right)^{2}\right)\\ & =p\left(2-p-\left(2+p\right)\left(1-2p+p^{2}\right)\right)\\ & =p\left(2-p-\left(p^{3}-3p+2\right)\right)\\ & =p\left(2p-p^{3}\right)\\ & =p^{2}\left(2-p^{2}\right) \end{align*} である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}pq^{2}=\frac{pq^{2}}{1-q}=\frac{pq^{2}}{p}=q^{2}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\times\)の確率\(pq^{2}\)のみである。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(\frac{q^{2}}{q^{2}+pq^{2}}=\frac{1}{p+1}\)となり、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{pq^{2}}{q^{2}+pq^{2}}=\frac{p}{p+1}\)となる。
従って、\(\times\times\bigcirc\)の勝率は
\begin{align*} \left(1+p\right)q^{2}+p^{2}\left(2-p^{2}\right)\cdot\frac{1}{p+1} & =\frac{\left(1+p\right)q^{2}\left(p+1\right)+p^{2}\left(2-p^{2}\right)}{p+1}\\ & =\frac{\left(1+p\right)\left(1-p\right)^{2}\left(p+1\right)+2p^{2}-p^{4}}{p+1}\\ & =\frac{\left(1-p^{2}\right)^{2}+2p^{2}-p^{4}}{p+1}\\ & =\frac{1-2p^{2}+p^{4}+2p^{2}-p^{4}}{p+1}\\ & =\frac{1}{p+1} \end{align*} となり、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は
\begin{align*} 1-\frac{1}{p+1} & =\frac{p+1-1}{p+1}\\ & =\frac{p}{p+1} \end{align*} となる。

\(\times\times\bigcirc\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)

\(\times\times\bigcirc\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)は\(\bigcirc\times\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\times\)が出るまでに\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}pq^{2}=\frac{pq^{2}}{1-q}=\frac{pq^{2}}{p}=q^{2}\)のみである。
\(\bigcirc\times\)が出るまでに\(\times\bigcirc\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}q\)のみである。
また、\(\times\bigcirc\bigcirc\)と\(\times\times\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\)が出る確率は\(1-\left(q^{2}+p^{2}q\right)=1-q^{2}-p^{2}q\)である。
\(\bigcirc\times\)が出たあとは最初に\(\times\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\times\)が出たあとに次の\(\bigcirc\times\)が出る前に\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\times\cdots\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}pq=\frac{pq}{1-q}=\frac{pq}{p}=q\)のみである。
\(\bigcirc\times\)が出たあとに次の\(\bigcirc\times\)が出る前に\(\times\bigcirc\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}\)のみである。
これより、\(\bigcirc\times\)が出たあとの\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(\frac{q}{q+p^{2}}\)で、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(\frac{p^{2}}{q+p^{2}}\)である。
従って、\(\times\times\bigcirc\)の勝率は
\begin{align*} q^{2}+\left(1-q^{2}-p^{2}q\right)\frac{q}{q+p^{2}} & =\frac{q^{2}\left(q+p^{2}\right)+\left(1-q^{2}-p^{2}q\right)q}{q+p^{2}}\\ & =\frac{q^{3}+p^{2}q^{2}+q-q^{3}-p^{2}q^{2}}{q+p^{2}}\\ & =\frac{q}{q+p^{2}} \end{align*} となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は
\begin{align*} 1-\frac{q}{q+p^{2}} & =\frac{q+p^{2}-q}{q+p^{2}}\\ & =\frac{p^{2}}{q+p^{2}} \end{align*} となる。

\(\times\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)

\(\times\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}pq^{2}=\)\(\frac{pq^{2}}{1-q}=q^{2}\)と\(\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}pq^{k}pq^{2}=\)\(\frac{p^{2}q^{2}}{1-q}=pq^{2}\)と\(\times\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}pqq^{k}pq^{2}=\)\(\frac{p^{2}q^{3}}{1-q}=pq^{3}\)と
で合計\(q^{2}+pq^{2}+pq^{3}=q^{2}\left(1+p+pq\right)\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(p^{2}q\)と\(\times\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(p^{2}q^{2}\)で合計\(p^{2}q+p^{2}q^{2}=p^{2}q\left(1+q\right)\)となる。
また、\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は
\begin{align*} 1-\left(q^{2}\left(1+p+pq\right)+p^{2}q\left(1+q\right)\right) & =1-q^{2}-pq^{2}-pq^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}\\ & =\left(1-q\right)\left(1+q\right)-pq^{2}-pq^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}\\ & =p\left(1+q\right)-pq^{2}-pq^{3}-p^{2}q-p^{2}q^{2}\\ & =p\left(1+q-q^{2}-q^{3}-pq-pq^{2}\right)\\ & =p\left(1+\left(1-p\right)q-q^{2}-q^{3}-pq^{2}\right)\\ & =p\left(1+q^{2}-q^{2}-q^{3}-pq^{2}\right)\\ & =p\left(1-q^{3}-pq^{2}\right)\\ & =p\left(1-\left(q+p\right)q^{2}\right)\\ & =p\left(1-q^{2}\right)\\ & =p\left(1-q\right)\left(1+q\right)\\ & =p^{2}\left(1+q\right) \end{align*} となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}pq^{2}=\frac{pq^{2}}{1-q}=\frac{pq^{2}}{p}=q^{2}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(pq\)となる。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(\frac{q^{2}}{q^{2}+pq}=\frac{q}{q+p}=q\)で、\(\bigcirc\times\bigcirc\)の勝率は\(1-q=p\)となる。
従って、\(\times\times\bigcirc\)が勝つ確率は
\begin{align*} q^{2}\left(1+p+pq\right)+p^{2}\left(1+q\right)\cdot q & =q^{2}+pq^{2}+pq^{3}+p^{2}q+p^{2}q^{2}\\ & =q^{2}+pq\left(q+p\right)+pq^{2}\left(p+q\right)\\ & =q^{2}+pq+pq^{2}\\ & =q\left(q+p+pq\right)\\ & =q\left(1+pq\right) \end{align*} であり、\(\bigcirc\times\bigcirc\)が勝つ確率は
\begin{align*} 1-q\left(1+pq\right) & =1-q-pq^{2}\\ & =p-pq^{2}\\ & =p\left(1-q^{2}\right)\\ & =p\left(1-q\right)\left(1+q\right)\\ & =p^{2}\left(1+q\right) \end{align*} となる。

\(\times\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)

最初に\(\times\times\)が来ると\(\bigcirc\bigcirc\times\)が来る前に\(\times\times\bigcirc\)が必ず来て、同様に最初に\(\bigcirc\bigcirc\)が来ると\(\times\times\bigcirc\)が来る前に\(\bigcirc\bigcirc\times\)が必ず来る。
これより、2連続コイントスでの\(\times\times\)と\(\bigcirc\bigcirc\)の勝率と同じになるので、\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(\frac{q^{2}\left(1+p\right)}{1-pq}\)となり\(\bigcirc\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{p^{2}\left(1+q\right)}{1-pq}\)となる。

\(\times\bigcirc\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)

\(\times\bigcirc\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)は\(\times\bigcirc\)が出た後に\(\times\)が出るか\(\bigcirc\)が出るかであるので、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(q\)であり\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(p\)である。

\(\times\bigcirc\times\)と\(\bigcirc\times\times\)

\(\times\bigcirc\times\)と\(\bigcirc\times\times\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\times\)の確率\(p^{2}q^{2}\)と\(\times\cdots\times\times\bigcirc\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}qpq=\frac{pq^{2}}{1-q}=\frac{pq^{2}}{p}=q^{2}\)で合計\(p^{2}q^{2}+q^{2}\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\times\)のみで確率は\(pq^{2}\)となる。
また、\(\times\bigcirc\times\)または\(\bigcirc\times\times\)が出る前に\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(p^{2}q^{2}+q^{2}+pq^{2}\right)=1-p^{2}q^{2}-q^{2}-pq^{2}\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあと次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\times\)の確率\(pq^{2}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあと次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\times\)のみで確率は\(q^{2}\)である。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{pq^{2}}{pq^{2}+q^{2}}=\frac{p}{p+1}\)で、\(\bigcirc\times\times\)の勝率は\(\frac{q^{2}}{pq^{2}+q^{2}}=\frac{1}{p+1}\)となる。
従って、\(\times\bigcirc\times\)が勝つ確率は
\begin{align*} p^{2}q^{2}+q^{2}+\left(1-p^{2}q^{2}-q^{2}-pq^{2}\right)\frac{p}{p+1} & =\frac{\left(p^{2}q^{2}+q^{2}\right)\left(p+1\right)+\left(1-p^{2}q^{2}-q^{2}-pq^{2}\right)p}{p+1}\\ & =\frac{p^{3}q^{2}+p^{2}q^{2}+pq^{2}+q^{2}+p-p^{3}q^{2}-pq^{2}-p^{2}q^{2}}{p+1}\\ & =\frac{q^{2}+p}{p+1} \end{align*} であり、\(\bigcirc\times\times\)が勝つ確率は
\begin{align*} 1-\frac{q^{2}+p}{p+1} & =\frac{p+1-\left(q^{2}+p\right)}{p+1}\\ & =\frac{1-q^{2}}{p+1}\\ & =\frac{\left(1-q\right)\left(1+q\right)}{p+1}\\ & =\frac{p\left(1+q\right)}{p+1} \end{align*} となる。

\(\times\bigcirc\times\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)

\(\times\bigcirc\times\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)は\(\times\times\)または\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\times\)または\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(p_{\times\bigcirc\times}=pq^{2}\)のみである。
\(\times\times\)または\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(p_{\bigcirc\times\bigcirc}=p^{2}q\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)または\(\times\bigcirc\times\)または\(\bigcirc\times\bigcirc\)が出るまでに\(\times\times\)が出るパターンは\(\times\times\)の確率\(q^{2}\)と\(\bigcirc\times\times\)の確率\(pq^{2}\)で合計\(p_{\times\times}=q^{2}+pq^{2}=q^{2}\left(1+p\right)\)となる。
\(\times\times\)または\(\times\bigcirc\times\)または\(\bigcirc\times\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\bigcirc\)が出るパターンは\(\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p^{2}q\)で合計\(p_{\bigcirc\bigcirc}=p^{2}+p^{2}q=p^{2}\left(1+q\right)\)となる。
\(\times\times\)が出た後は最初から\(\times\)が出ているのと同じ状態であり、\(\bigcirc\bigcirc\)が出た後は最初から\(\bigcirc\)が出ているのと同じ状態である。
\(\times\times\)が出た後に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(p_{\times\times,\times\bigcirc\times}=pq\)のみである。
\(\times\times\)が出た後に\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンはないので確率\(p_{\times\times,\bigcirc\times\bigcirc}=0\)である。
\(\times\times\)が出た後に\(\times\times\)が出るパターンは\(\times\times\)の確率\(p_{\times\times,\times\times}=q\)のみである。
\(\times\times\)が出た後に\(\bigcirc\bigcirc\)が出るパターンは\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p_{\times\times,\bigcirc\bigcirc}=p^{2}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出た後に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンはないので確率\(p_{\bigcirc\bigcirc,\times\bigcirc\times}=0\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出た後に\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(p_{\bigcirc\bigcirc,\bigcirc\times\bigcirc}=pq\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出た後に\(\times\times\)が出るパターンは\(\bigcirc\times\times\)の確率\(p_{\bigcirc\bigcirc,\times\times}=q^{2}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出た後に\(\bigcirc\bigcirc\)が出るパターンは\(\bigcirc\bigcirc\)の確率\(p_{\bigcirc\bigcirc,\bigcirc\bigcirc}=p\)のみである。
これらより、\(\times\bigcirc\times\)の勝率\(P_{\times\bigcirc\times}\)は
\begin{align*} P_{\times\bigcirc\times} & =p_{\times\bigcirc\times}+\frac{1}{1-p_{\times\times,\times\times}-p_{\bigcirc\bigcirc,\bigcirc\bigcirc}+p_{\times\times,\times\times}p_{\bigcirc\bigcirc,\bigcirc\bigcirc}-p_{\times\times,\bigcirc\bigcirc}p_{\bigcirc\bigcirc,\times\times}}\left(\begin{array}{cc} p_{\times\times} & p_{\bigcirc\bigcirc}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1-p_{\bigcirc\bigcirc,\bigcirc\bigcirc} & p_{\times\times,\bigcirc\bigcirc}\\ p_{\bigcirc\bigcirc,\times\times} & 1-p_{\times\times,\times\times} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} p_{\times\times,\times\bigcirc\times}\\ p_{\bigcirc\bigcirc,\times\bigcirc\times} \end{array}\right)\\ & =pq^{2}+\frac{1}{1-q-p+qp-p^{2}q^{2}}\left(\begin{array}{cc} q^{2}\left(1+p\right) & p^{2}\left(1+q\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1-p & p^{2}\\ q^{2} & 1-q \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} pq\\ 0 \end{array}\right)\\ & =pq^{2}+\frac{1}{1-\left(q+p\right)+qp\left(1-pq\right)}\left(\begin{array}{cc} q^{2}\left(1+p\right) & p^{2}\left(1+q\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} q & p^{2}\\ q^{2} & p \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} pq\\ 0 \end{array}\right)\\ & =pq^{2}+\frac{1}{pq\left(1-pq\right)}\left(\begin{array}{cc} q^{2}\left(1+p\right) & p^{2}\left(1+q\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} pq^{2}\\ pq^{3} \end{array}\right)\\ & =pq^{2}+\frac{pq^{2}}{pq\left(1-pq\right)}\left(\begin{array}{cc} q^{2}\left(1+p\right) & p^{2}\left(1+q\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ q \end{array}\right)\\ & =pq^{2}+\frac{pq^{2}\left(q^{2}\left(1+p\right)+p^{2}q\left(1+q\right)\right)}{pq\left(1-pq\right)}\\ & =pq^{2}+\frac{pq^{3}\left(q\left(1+p\right)+p^{2}\left(1+q\right)\right)}{pq\left(1-pq\right)}\\ & =pq^{2}+\frac{pq^{3}\left(q+pq+p^{2}+p^{2}q\right)}{pq\left(1-pq\right)}\\ & =pq^{2}+\frac{pq^{3}\left(q+p\left(q+p\right)+p^{2}q\right)}{pq\left(1-pq\right)}\\ & =pq^{2}+\frac{pq^{3}\left(q+p+p^{2}q\right)}{pq\left(1-pq\right)}\\ & =pq^{2}+\frac{pq^{3}\left(1+p^{2}q\right)}{pq\left(1-pq\right)}\\ & =pq^{2}+\frac{q^{2}\left(1+p^{2}q\right)}{1-pq}\\ & =\frac{pq^{2}\left(1-pq\right)+q^{2}\left(1+p^{2}q\right)}{\left(1-pq\right)}\\ & =\frac{pq^{2}-p^{2}q^{3}+q^{2}+p^{2}q^{3}}{1-pq}\\ & =\frac{pq^{2}+q^{2}}{1-pq}\\ & =\frac{q^{2}\left(p+1\right)}{1-pq}\\ & =\frac{q^{2}\left(1+p\right)}{1-pq} \end{align*} となる。
\(\bigcirc\times\bigcirc\)の勝率\(P_{\bigcirc\times\bigcirc}\)は、
\begin{align*} P_{\bigcirc\times\bigcirc} & =1-P_{\times\bigcirc\times}\\ & =1-\frac{q^{2}\left(p+1\right)}{1-pq}\\ & \frac{1-pq-q^{2}\left(p+1\right)}{1-pq}\\ & =\frac{1-pq-pq^{2}-q^{2}}{1-pq}\\ & =\frac{1-q^{2}-pq-pq^{2}}{1-pq}\\ & =\frac{\left(1-q\right)\left(1+q\right)-pq-pq^{2}}{1-pq}\\ & =\frac{p\left(1+q\right)-pq-pq^{2}}{1-pq}\\ & =\frac{p\left(1+q-q-q^{2}\right)}{1-pq}\\ & =\frac{p\left(1-q^{2}\right)}{1-pq}\\ & =\frac{p\left(1-q\right)\left(1+q\right)}{1-pq}\\ & =\frac{p^{2}\left(1+q\right)}{1-pq} \end{align*} となる。

\(\times\bigcirc\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\times\)

\(\times\bigcirc\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\cdots\bigcirc\left(\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\bigcirc\right)\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}p^{j}\left(pq\right)^{k}p^{2}q=\frac{p^{2}q}{\left(1-p\right)\left(1-pq\right)}=\frac{p^{2}q}{q\left(1-pq\right)}=\frac{p^{2}}{1-pq}\)と\(\times\cdots\times\times\left(\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\bigcirc\right)\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}q^{j}q\left(pq\right)^{k}p^{2}q=\frac{p^{2}q^{2}}{\left(1-q\right)\left(1-pq\right)}=\frac{p^{2}q^{2}}{p\left(1-pq\right)}=\frac{pq^{2}}{1-pq}\)の合計
\begin{align*} P_{\times\bigcirc\bigcirc} & =\frac{p^{2}}{1-pq}+\frac{pq^{2}}{1-pq}\\ & =\frac{p^{2}+pq^{2}}{1-pq}\\ & =\frac{p\left(p+q^{2}\right)}{1-pq}\\ & =\frac{p\left(p+\left(1-p\right)q\right)}{1-pq}\\ & =\frac{p\left(p+q-pq\right)}{1-pq}\\ & =p \end{align*} が\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率となる。
これより、\(\bigcirc\times\times\)の勝率は\(P_{\bigcirc\times\times}=1-P_{\times\bigcirc\bigcirc}=1-p=q\)となる。

\(\times\bigcirc\bigcirc\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)

\(\times\bigcirc\bigcirc\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)は最初の2回で\(\bigcirc\bigcirc\)が来ると\(\bigcirc\bigcirc\times\)が確定で、\(\bigcirc\bigcirc\)が来ないと\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝ちになるので、\(\bigcirc\bigcirc\times\)の勝率は\(p^{2}\)となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(1-p^{2}=\left(1-p\right)\left(1+p\right)=q\left(1+p\right)\)となる。

補足

\(p=q=\frac{1}{2}\)のときは次のようになり簡単に出せるものもある。

全く逆の予想

\(\times\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)のように全く逆の予想では勝率は共に\(\frac{1}{2}\)となる。

\(\times\times\times\text{と}\times\times\bigcirc\)

\(\times\times\times\)と\(\times\times\bigcirc\)のように最初の2つが同じパターンは\(\times\times\)がでて次に決着がつくので勝率は共に\(\frac{1}{2}\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\times\)

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\times\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\times\)は共に\(\times\)で始まっているので最初の\(\bigcirc\)は無視してもよい。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで、\(\times\times\times\)が勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで、\(\times\bigcirc\times\)が勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)と\(\times\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}\)の合計\(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{16}\right)=1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとも最初の\(\bigcirc\)を無視して\(\times\)から始まると考えてもよい。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)と\(\times\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}\)の合計\(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\)となる。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}/\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{16}\right)=\frac{2}{5}\)となり、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)となる。
従って、\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}+\frac{11}{16}\frac{2}{5}=\frac{10+22}{80}=\frac{32}{80}=\frac{2}{5}\)となり、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)

\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)は\(\bigcirc\times\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\times\times\)と\(\times\bigcirc\bigcirc\)は共に\(\times\)で始まっているので最初の\(\bigcirc\)は無視してもよい。
\(\bigcirc\times\)が出るまでで\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\bigcirc\times\)が出るまでで\(\times\bigcirc\bigcirc\)が勝つパターンは\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)と\(\times\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}\)の合計\(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\)となる。
また、\(\bigcirc\times\)が出る確率は\(1-\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{16}\right)=1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}\)である。
\(\bigcirc\times\)が出たあとも最初の\(\bigcirc\)を無視して\(\times\)から始まると考えてもよい。
\(\bigcirc\times\)が出て次の\(\bigcirc\times\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\bigcirc\times\)が出て次の\(\bigcirc\times\)が出る前に\(\times\bigcirc\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)と\(\times\times\bigcirc\bigcirc\)の確率\(\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}\)の合計\(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\)となる。
これより、\(\bigcirc\times\)が出たあとの\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}/\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{16}\right)=\frac{2}{5}\)となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)となる。
従って、\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}+\frac{11}{16}\frac{2}{5}=\frac{10+22}{80}=\frac{32}{80}=\frac{2}{5}\)となり、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\times\)

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\times\)は最初の3回で\(\times\times\times\)が来ないと\(\bigcirc\times\times\)の勝ちになるので、\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)となり、\(\bigcirc\times\times\)の勝率は\(1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{1}{7}\)と\(\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{4}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{1}{14}\)と\(\times\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2}}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{5}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{1}{28}\)
で合計\(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}\)である
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\left(\bigcirc\times\times\right)\cdots\left(\bigcirc\times\times\right)\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{1}{7}\)と\(\times\left(\bigcirc\times\times\right)\cdots\left(\bigcirc\times\times\right)\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{4}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{1}{14}\)と\(\times\times\left(\bigcirc\times\times\right)\cdots\left(\bigcirc\times\times\right)\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2}}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{5}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{1}{28}\)
で合計\(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}\)である。
また、\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{1}{7}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\left(\times\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\times\bigcirc\right)\times\bigcirc\)のみで確率は\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{k}\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{2}}\left(1-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-1}=\frac{2}{7}\)である。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{1}{7}/\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\right)=\frac{1}{7}/\frac{3}{7}=\frac{1}{3}\)で、\(\bigcirc\times\times\)の勝率は\(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)となる。
従って、\(\times\times\times\)が勝つ確率は\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\)であり、\(\bigcirc\times\times\)が勝つ確率は\(1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}\)となる。

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)

\(\times\times\times\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)は\(\times\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\bigcirc\)が出るまでで\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\times\times\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)と\(\bigcirc\times\times\times\)の確率\(\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}\)の合計\(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\)である。
\(\times\bigcirc\)が出るまでで\(\bigcirc\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\cdots\bigcirc\times\)の確率\(\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{4}\)のみである。
また、\(\times\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(\frac{3}{16}+\frac{1}{4}\right)=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)となる。
\(\times\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える
\(\times\bigcirc\)が出て次の\(\times\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\times\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\times\bigcirc\)が出て次の\(\times\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\bigcirc\cdots\bigcirc\bigcirc\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{2}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{2}\)のみとなる。
これより、\(\bigcirc\times\)が出たあとの\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}/\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}/\frac{5}{8}=\frac{1}{5}\)となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)となる。
従って、\(\times\times\times\)の勝率は\(\frac{3}{16}+\frac{9}{16}\frac{1}{5}=\frac{3}{16}+\frac{9}{80}=\frac{24}{80}=\frac{3}{10}\)となり\(\bigcirc\bigcirc\times\)の勝率は\(1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}\)となる。

\(\times\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)

\(\times\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\bigcirc\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\)\(\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{2^{3}}2=\frac{1}{4}\)と\(\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\)\(\frac{1}{2^{4}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{2^{4}}2=\frac{1}{8}\)と\(\times\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\)\(\frac{1}{2^{5}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{2^{5}}2=\frac{1}{16}\)と
で合計\(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)と\(\times\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}\)で合計\(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\)となる。
また、\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(\frac{7}{16}+\frac{3}{16}\right)=1-\frac{10}{16}=\frac{3}{8}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{2^{3}}2=\frac{1}{4}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとに次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\)の確率\(\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)となる。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(\frac{1}{4}/\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}/\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)で、\(\bigcirc\times\bigcirc\)の勝率は\(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)となる。
従って、\(\times\times\bigcirc\)が勝つ確率は\(\frac{7}{16}+\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{16}+\frac{3}{16}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}\)であり、\(\bigcirc\times\bigcirc\)が勝つ確率は\(1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}\)となる。

\(\times\bigcirc\times\)と\(\times\times\bigcirc\)

\(\times\bigcirc\times\)と\(\times\times\bigcirc\)は\(\times\)が出た後に\(\times\)が出ると次に\(\bigcirc\)が出た時に\(\times\times\bigcirc\)が確定で、\(\times\)が出た後に\(\bigcirc\)が出ると確率\(\frac{1}{2}\)で\(\times\bigcirc\times\)となるので、\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)となる。？？？
\(\times\bigcirc\times\)と\(\times\times\bigcirc\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\times\bigcirc\times\)と\(\times\times\bigcirc\)は共に\(\times\)で始まっているので最初の\(\bigcirc\)は無視してもよい。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで、\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでで、\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{4}\)のみである。
また、\(\times\bigcirc\times\)または\(\times\times\bigcirc\)で出るまでで\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\right)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとも最初の\(\bigcirc\)を無視して\(\times\)から始まると考えてもよい。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出て次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\times\bigcirc\)で勝つパターンは\(\times\cdots\times\times\times\bigcirc\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{4}\)のみである。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}/\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{3}\)となり、\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)となる。
従って、\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}+\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{3}=\frac{3+5}{24}\)=\(\frac{1}{3}\)となり、\(\times\times\bigcirc\)の勝率は\(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)となる。

\(\times\bigcirc\times\)と\(\bigcirc\times\times\)

\(\times\bigcirc\times\)と\(\bigcirc\times\times\)は\(\bigcirc\bigcirc\)が出ると初期状態に戻るのと同じである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}\)と\(\times\cdots\times\bigcirc\times\)の確率\(\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2^{3}}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{4}\)で合計\(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}=\frac{5}{16}\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出るまでに\(\bigcirc\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\times\)のみで確率は\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)となる。
また、\(\bigcirc\bigcirc\)が出る確率は\(1-\left(\frac{5}{16}+\frac{1}{8}\right)=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)である。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとは最初に\(\bigcirc\)が出ている状態から始まると考える。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあと次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\times\bigcirc\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\bigcirc\times\)の確率\(\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)のみである。
\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあと次の\(\bigcirc\bigcirc\)が出る前に\(\bigcirc\times\times\)で勝つパターンは\(\bigcirc\times\times\)のみで確率は\(\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)である。
これより、\(\bigcirc\bigcirc\)が出たあとの\(\times\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{1}{8}/\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}/\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{3}\)で、\(\bigcirc\times\times\)の勝率は\(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)となる。
従って、\(\times\bigcirc\times\)が勝つ確率は\(\frac{5}{16}+\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{16}+\frac{3}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)であり、\(\bigcirc\times\times\)が勝つ確率は\(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)となる。

\(\times\bigcirc\bigcirc\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)

\(\times\bigcirc\bigcirc\)と\(\bigcirc\bigcirc\times\)は最初の2回で\(\bigcirc\bigcirc\)が来ると\(\bigcirc\bigcirc\times\)が確定で、\(\bigcirc\bigcirc\)が来ないと\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝ちになるので、\(\bigcirc\bigcirc\times\)の勝率は\(\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)となり、\(\times\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)となる。