logの2乗の級数表示
\(\log^{2}(1-x)\)は以下のように級数で表される。
\[ \log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1} \] ここで、\(H_k\)は調和数である。
\[ \log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1} \] ここで、\(H_k\)は調和数である。
\[
\log(1-x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}
\]
より、
\begin{align*} \log^{2}(1-x) & =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{jk}x^{j+k}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\frac{1}{(t-k)k}x^{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\left(\frac{1}{t-k}+\frac{1}{k}\right)\frac{x^{t}}{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\frac{2H_{t-1}}{t}x^{t}\\ & =2\sum_{t=1}^{\infty}\frac{H_{t}}{t+1}x^{t+1} \end{align*}
\begin{align*} \log^{2}(1-x) & =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{jk}x^{j+k}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\frac{1}{(t-k)k}x^{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\left(\frac{1}{t-k}+\frac{1}{k}\right)\frac{x^{t}}{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\frac{2H_{t-1}}{t}x^{t}\\ & =2\sum_{t=1}^{\infty}\frac{H_{t}}{t+1}x^{t+1} \end{align*}
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ウォリスの公式
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx
\]
ライプニッツ級数
円周率
円周率πの定義と積分での表示。