2項変換とベルヌーイ数 by nomura · 2024年12月24日 Follow @nomuramath 2項変換とベルヌーイ数 数列(an)n∈N0,(bn)n∈N0があるとき次の変換と逆変換が成り立つ。 an=∑k=0nC(n,k)bn−kk+1 bn=∑k=0nC(n,k)Bkan−k - Bnはベルヌーイ数an=∑k=0nC(n,k)bn−kk+1 であるとき、 ∑k=0nC(n,k)Bkan−k=∑k=0nC(n,k)Bk∑j=0n−kC(n−k,j)bn−k−jj+1=∑k=0nC(n,k)Bk∑j=knC(n−k,j−k)bn−jj−k+1=∑j=0n∑k=0jC(n,k)BkC(n−k,j−k)bn−jj−k+1=∑j=0n∑k=0n−jC(n,k)BkC(n−k,n−j−k)bjn−j−k+1=∑j=0n∑k=0n−jC(n,k)BkC(n−k,j)bjn−j−k+1=∑j=0n∑k=0n−jC(n,j)BkC(n−j,k)bjn−j−k+1=∑j=0n1n−j+1∑k=0n−jC(n,j)BkC(n−j+1,n−j−k+1)bj=∑j=0nC(n,j)bjn−j+1∑k=0n−jBkC(n−j+1,k)=∑j=0nC(n,j)bjn−j+1δn,j(δ0,n=∑k=0nC(n+1,k)Bk)=bn となる。 従って題意は成り立つ。 - 逆向きは次のようにする。 bn=∑k=0nC(n,k)Bkan−k であるとき、 ∑k=0nC(n,k)bn−kk+1=∑k=0nC(n,k)1k+1∑j=0n−kC(n−k,j)Bjan−k−j=∑k=0nC(n,k)1k+1∑j=knC(n−k,j−k)Bj−kan−j=∑j=0n∑k=0jC(n,k)1k+1C(n−k,j−k)Bj−kan−j=∑j=0n∑k=0n−jC(n,k)1k+1C(n−k,n−j−k)Bn−j−kaj=∑j=0n∑k=0n−j1k+1C(n,k)C(n−k,j)Bn−j−kaj=∑j=0nC(n,j)aj∑k=0n−j1k+1C(n−j,k)Bn−j−k=∑j=0nC(n,j)aj1n−j+1∑k=0n−jC(n−j+1,k+1)Bn−j−k=∑j=0nC(n,j)aj1n−j+1∑k=0n−jC(n−j+1,n−j−k+1)Bk=∑j=0nC(n,j)aj1n−j+1∑k=0n−jC(n−j+1,k)Bk=∑j=0nC(n,j)aj1n−j+1δ0,n−j(δ0,n=∑k=0nC(n+1,k)Bk)=C(n,n)an=an となるので逆向きも成り立つ。 高額塾無用・大学受験合格シンプル勉強法【一粒メソッド】 ページ情報タイトル2項変換とベルヌーイ数URLhttps://www.nomuramath.com/couy4v9h/SNSボタンTweet 高額塾無用・大学受験合格シンプル勉強法【一粒メソッド】 ベルヌーイ数の一般項Bn=∑k=0n(−1)kkn∑j=knC(j,k)j+1 (*)ベルヌーイ数の総和と漸化式δ0,n=∑k=0nC(n+1,k)Bk 奇数ベルヌーイ数B2n−1=−12δ1,n ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係δ1,n=((−1)n−1)Bn
