(1)

\(x\)を要素に持つ連結集合全体の集合を\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \)とすると、\(\emptyset\ne\left\{ x\right\} \subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)なので\(C_{x}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は連結である。
このとき、\(x\)を要素に持つ任意の連結集合はある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し\(A_{\lambda}\)であるので、\(A_{\lambda}\subseteq C_{x}\)となる。
従って、\(C_{x}\)は\(x\)を要素に持つ連結部分集合のうち最大となる。

(2)

\(x\)を要素に持つ弧状連結集合全体の集合を\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \)とすると、\(x,y\)が連続な道で繋がっているとき2項関係\(x\sim y\)で表すと同値類となるので推移律より\(\pi_{x}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は弧状連結である。
このとき、\(x\)を要素に持つ任意の連結集合はある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し\(A_{\lambda}\)であるので、\(A_{\lambda}\subseteq\pi_{x}\)となる。
従って、\(\pi_{x}\)は\(x\)を要素に持つ弧状連結部分集合のうち最大となる。