無限補有限位相の分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間)
無限補有限位相の分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間)
無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は分離公理について次を満たす。
無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は分離公理について次を満たす。
(1)
\(T_{0}\)空間となる。(2)
\(T_{1}\)空間となる。(3)
\(T_{2}\)空間とならない。(4)
\(T_{3}\)空間とならない。(5)
\(T_{4}\)空間とならない。(6)
正則空間とならない。(7)
正規空間とならない。(1)
任意の\(x,y\in X\)に対し、\(U=X\setminus\left\{ y\right\} \)と選べば\(\left|U^{c}\right|=\left|\left\{ y\right\} \right|=1<\infty\)なので\(U\)は開集合となり、\(x\ne y\rightarrow\)\(x\in U,y\notin U\)となるので\(T_{0}\)空間となる。(2)
任意の\(x,y\in X\)に対し、\(U=X\setminus\left\{ y\right\} \)と選べば\(\left|U^{c}\right|=\left|\left\{ y\right\} \right|=1<\infty\)なので\(U\)は開集合となり、\(x\ne y\rightarrow\)\(x\in U,y\notin U\)となるので\(T_{1}\)空間となる。(3)
無限補有限位相では空集合ではない任意の開集合\(U,V\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となるので\(T_{2}\)空間とならない。(4)
無限補有限位相では空集合ではない任意の開集合\(U,V\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となるので\(T_{3}\)空間とならない。(5)
無限補有限位相では空集合ではない任意の開集合\(U,V\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となるので\(T_{4}\)空間とならない。(6)
\(T_{1}\)空間であるが\(T_{3}\)空間でないので正則空間とはならない。(7)
\(T_{1}\)空間であるが\(T_{4}\)空間でないので正規空間とはならない。
ページ情報
| タイトル | 無限補有限位相の分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間) |
| URL | https://www.nomuramath.com/cry2sqti/ |
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実数では補有限位相は通常位相より弱い
\[
\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}
\]
無限補有限位相では空集合でない開集合は互いに交わる
補有限位相の定義
\[
\mathcal{O}_{c}=\left\{ A\subseteq X;\left|A^{c}\right|<\infty\right\} \land\left\{ \emptyset\right\}
\]
有限補有限位相は離散位相
\[
\left|X\right|<\infty\leftrightarrow\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)=\left(X,2^{X}\right)
\]