(1)

任意の\(x,y\in X\)に対し、\(U=X\setminus\left\{ y\right\} \)と選べば\(\left|U^{c}\right|=\left|\left\{ y\right\} \right|=1<\infty\)なので\(U\)は開集合となり、\(x\ne y\rightarrow\)\(x\in U,y\notin U\)となるので\(T_{0}\)空間となる。

(2)

任意の\(x,y\in X\)に対し、\(U=X\setminus\left\{ y\right\} \)と選べば\(\left|U^{c}\right|=\left|\left\{ y\right\} \right|=1<\infty\)なので\(U\)は開集合となり、\(x\ne y\rightarrow\)\(x\in U,y\notin U\)となるので\(T_{1}\)空間となる。

(3)

無限補有限位相では空集合ではない任意の開集合\(U,V\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となるので\(T_{2}\)空間とならない。

(4)

無限補有限位相では空集合ではない任意の開集合\(U,V\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となるので\(T_{3}\)空間とならない。

(5)

無限補有限位相では空集合ではない任意の開集合\(U,V\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となるので\(T_{4}\)空間とならない。

(6)

\(T_{1}\)空間であるが\(T_{3}\)空間でないので正則空間とはならない。

(7)

\(T_{1}\)空間であるが\(T_{4}\)空間でないので正規空間とはならない。