負数の偏角と対数

by nomura · 2022年8月1日

負数の偏角と対数

(1)

\begin{align*} \Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right) & =2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi\\ & =\pi-2\pi H_{0}\left(\Arg\left(-\alpha\right)\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \Log\alpha-\Log\left(-\alpha\right) & =i\left(2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi\right)\\ & =i\left(\pi-2\pi H_{0}\left(\Arg\left(-\alpha\right)\right)\right) \end{align*}

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\(H_{c}\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数

(1)

\begin{align*} \Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right) & =\Arg\left(-1\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\left(-\alpha^{-1}\right)\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(-\alpha\right)}\\ & =\pi-2\pi H_{0}\left(-\Arg\left(\alpha\right)\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(-\alpha\right)}\\ & =\pi-2\pi\left\{ H_{0}\left(-\Arg\left(\alpha\right)\right)+\delta_{\pi,\Arg\left(-\alpha\right)}\right\} \\ & =\pi-2\pi\left\{ H_{0}\left(-\Arg\left(\alpha\right)\right)+\delta_{0,\Arg\left(\alpha\right)}\right\} \\ & =\pi-2\pi H_{1}\left(-\Arg\left(\alpha\right)\right)\\ & =2\pi\left\{ 1-H_{1}\left(-\Arg\left(\alpha\right)\right)\right\} -\pi\\ & =2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi \end{align*} \(\alpha\rightarrow-\alpha\)とすると、
\[ \Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=\pi-2\pi H_{0}\left(\Arg\left(-\alpha\right)\right) \] となる。

(2)

\begin{align*} \Log\alpha-\Log\left(-\alpha\right) & =\Log\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha-\left(\Log\left(\left|-\alpha\right|+i\Arg\left(-\alpha\right)\right)\right)\\ & =i\left(\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)\right)\\ & =i\left(2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi\right)\\ & =i\left(\pi-2\pi H_{0}\left(\Arg\left(-\alpha\right)\right)\right) \end{align*}