有限補有限位相は離散位相
有限補有限位相は離散位相
有限集合\(X\)の補有限位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)になる。
有限集合\(X\)の補有限位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)になる。
補有限位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\mathcal{O}_{c}\right)\)の開集合は補集合が有限集合であればいいので\(\emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \)となり、\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\mathcal{O}_{c}\right)=\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)=\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)となり離散位相となる。
逆も成り立つ。
すなわち、補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)と離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)が等しければ\(X\)は有限集合となる。
対偶をとると\(\aleph_{0}\leq X\)ならば\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\ne\left(X,2^{X}\right)\)であるのでこれを示せればいい。
\(a\in X\)を1つ選ぶと\(X\setminus\left\{ a\right\} \)の補集合は無限集合になるので\(X\setminus\left\{ a\right\} \)は開集合ではない。
これより、全ての部分集合が開集合ではないので離散位相ではない。
従って、対偶が示された。
すなわち、補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)と離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)が等しければ\(X\)は有限集合となる。
対偶をとると\(\aleph_{0}\leq X\)ならば\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\ne\left(X,2^{X}\right)\)であるのでこれを示せればいい。
\(a\in X\)を1つ選ぶと\(X\setminus\left\{ a\right\} \)の補集合は無限集合になるので\(X\setminus\left\{ a\right\} \)は開集合ではない。
これより、全ての部分集合が開集合ではないので離散位相ではない。
従って、対偶が示された。
\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)の閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{c}\)とすると、任意の部分集合\(A\subseteq X\)に対し、\(\left|A^{c}\right|<\infty\)となるので\(A\in\mathcal{F}_{c}\)
となる。
これより、任意の部分集合\(A\)が閉集合になるので\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は離散位相となる。
となる。
これより、任意の部分集合\(A\)が閉集合になるので\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は離散位相となる。
ページ情報
| タイトル | 有限補有限位相は離散位相 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d4hi5azl/ |
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