正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
正接関数・双曲線正接関数は多重対数関数を使って以下のように表示できる。
正接関数・双曲線正接関数は多重対数関数を使って以下のように表示できる。
(1)正接関数
\[ \tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \](2)双曲線正接関数
\[ \tanh^{\pm1}z=1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \]-
\(\Li_{n}\left(z\right)\)は多重対数関数(1)
\begin{align*} \tan^{\pm1}z & =i^{\mp1}\frac{e^{iz}\mp e^{-iz}}{e^{iz}\pm e^{-iz}}\\ & =i^{\mp1}\frac{e^{2iz}\mp1}{e^{2iz}\pm1}\\ & =-i^{\mp1}\frac{1\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{-i\pi}e^{\mp\frac{\pi}{2}i}\frac{1\pm e^{2iz}\mp2e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{\pm\frac{\pi}{2}i}\left(1+2\frac{\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\right)\\ & =i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \tanh^{\pm1}z & =\left(i^{-1}\tan\left(iz\right)\right)^{\pm1}\\ & =i^{\mp1}\tan^{\pm1}\left(iz\right)\\ & =i^{\mp1}i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right)\right)\\ & =1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d6pmhb0k/ |
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巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}\Sin^{\bullet}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\bullet}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C
\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[
\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C
\]
逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係
\[
\Tan^{\bullet}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right)
\]
3角関数3つでの積和公式・和積公式
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\sin\frac{B+C}{2}\sin\frac{C+A}{2}\sin\frac{A+B}{2}+\sin\left(A+B+C\right)
\]