補有限位相は可分
補有限位相は可分
補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は\(X\)が有限でも可算無限でも非可算無限でも可分となる。
補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は\(X\)が有限でも可算無限でも非可算無限でも可分となる。
有限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は有限離散集合\(\left(X,2^{X}\right)\)となり第2可算でもあり可分でもあります。
可算無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は第2可算なので可分になります。
非可算無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は第2可算ではありませんが可分になります。
可算無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は第2可算なので可分になります。
非可算無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は第2可算ではありませんが可分になります。
自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)の補有限位相\(\left(\mathbb{N},\mathcal{O}_{c}\right)\)は可分となる。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は可分となる。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は可分となる。
\(X\)が有限
\(X\)が有限のとき、\(X^{a}=X\)かつ\(\left|X\right|<\infty\leq\aleph_{0}\)なので明らかに可分となる。\(X\)が無限
補有限位相なので無限集合で閉集合となるのは\(X\)のみである。\(X\)は無限集合なので可算無限集合となる部分集合が存在する。
従って、可算無限集合となる部分集合\(A\subseteq X\)が存在し、\(A^{a}=X\)となり\(A\)は可算無限集合なので可分となる。
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\(X\)が可算無限のときは有限と同じようにしても\(X^{a}=X\)かつ\(\left|X\right|\leq\aleph_{0}\)なので可分と証明できます。ページ情報
| タイトル | 補有限位相は可分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d6tkp1jv/ |
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補有限位相はT1空間となる一番弱い位相
無限補有限位相では空集合でない開集合は互いに交わる
有限補有限位相は離散位相
\[
\left|X\right|<\infty\leftrightarrow\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)=\left(X,2^{X}\right)
\]
補有限位相の定義
\[
\mathcal{O}_{c}=\left\{ A\subseteq X;\left|A^{c}\right|<\infty\right\} \land\left\{ \emptyset\right\}
\]