距離空間での開集合と閉集合の定義
距離空間での開集合と閉集合の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)が与えられているとする。
\(x\in X\)での\(\epsilon\)-近傍を\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)で表す。
すなわち、
\[ \forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A \] である。
これは、\(A\)の内部が\(A\)に等しい、すなわち\(A=A^{i}\)となるのと同じである。
また\(A\)の閉包が\(A\)に等しい、すなわち\(A=A^{a}\)となるとき\(A\)を閉集合でもよい。
これは
\[ \forall x\in A^{c},\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A=\emptyset \] または、
\[ \forall x\in X,\left(\forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\ne\emptyset\rightarrow x\in A\right) \] と同じである。
距離空間\(\left(X,d\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)が与えられているとする。
\(x\in X\)での\(\epsilon\)-近傍を\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)で表す。
(1)開集合
任意の\(A\)の元\(x\)に対しある\(\epsilon>0\)が存在し\(U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A\)となるとき\(A\)を開集合という。すなわち、
\[ \forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A \] である。
これは、\(A\)の内部が\(A\)に等しい、すなわち\(A=A^{i}\)となるのと同じである。
(2)閉集合
\(A\)の補集合\(A^{c}\)が開集合であるとき\(A\)を閉集合という。また\(A\)の閉包が\(A\)に等しい、すなわち\(A=A^{a}\)となるとき\(A\)を閉集合でもよい。
これは
\[ \forall x\in A^{c},\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A=\emptyset \] または、
\[ \forall x\in X,\left(\forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\ne\emptyset\rightarrow x\in A\right) \] と同じである。
空集合\(\emptyset\)と全体集合\(X\)は開集合かつ閉集合となる。
ページ情報
| タイトル | 距離空間での開集合と閉集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d9yw2fna/ |
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距離空間ならば第1可算公理を満たす
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\[
d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}
\]
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値