距離空間での開集合と閉集合の定義

by nomura · 2023年5月12日

距離空間での開集合と閉集合の定義
距離空間$\left(X,d\right)$とその部分集合$A\subseteq X$が与えられているとする。
$x\in X$での$\epsilon$-近傍を$U_{\epsilon}\left(x\right)$で表す。

(1)開集合

任意の$A$の元$x$に対しある$\epsilon>0$が存在し$U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A$となるとき$A$を開集合という。
すなわち、
\[ \forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A \] である。
これは、$A$の内部が$A$に等しい、すなわち$A=A^{i}$となるのと同じである。

(2)閉集合

$A$の補集合$A^{c}$が開集合であるとき$A$を閉集合という。
また$A$の閉包が$A$に等しい、すなわち$A=A^{a}$となるとき$A$を閉集合でもよい。
これは
\[ \forall x\in A^{c},\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A=\emptyset \] または、
\[ \forall x\in X,\left(\forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\ne\emptyset\rightarrow x\in A\right) \] と同じである。

空集合$\emptyset$と全体集合$X$は開集合かつ閉集合となる。