距離空間でコーシー列ならば有界列

by nomura · 2023年6月28日

距離空間でコーシー列ならば有界列
距離空間でコーシー列ならば有界列である。
逆は一般的に成り立たない。

$\Rightarrow$

距離空間$\left(X,d\right)$で$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$をコーシー列とする。
このとき、任意の$\epsilon>0$に対し、ある$N\in\mathbb{N}$が存在し、$N\leq m,n\rightarrow d\left(x_{m},x_{n}\right)<\epsilon$を満たす。
ここで$m=N$とすると、$N\leq n\rightarrow d\left(x_{N},x_{n}\right)<\epsilon$となる。
これより、$M=\max\left\{ \epsilon,d\left(x_{1},x_{N}\right),d\left(x_{2},x_{N}\right),\cdots,d\left(x_{N-1},x_{N}\right)\right\} $とおくと、任意の自然数$k$に対し
\begin{align*} d\left(x_{k},x_{N}\right) & \leq\max_{k\in\mathbb{N}}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} \\ & =\max\left\{ \max_{k\in\left(1,2,\cdots,N-1\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} ,\max_{k\in\left(N,N+1,\cdots\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} \right\} \\ & \leq\max\left\{ \max_{k\in\left(1,2,\cdots,N-1\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} ,\epsilon\right\} \\ & =\max\left\{ \epsilon,d\left(x_{1},x_{N}\right),d\left(x_{2},x_{N}\right),\cdots,d\left(x_{N-1},x_{N}\right)\right\} \\ & =M \end{align*} となる。
故に距離空間でコーシー列は有界列となる。

$\Leftarrow$は一般的に成り立たない

反例で示す。
数列$\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は任意の$n\in\mathbb{N}$に対し、$d\left(x_{n},0\right)=1\leq1$となるので有界列である。
しかし、任意の$N\in\mathbb{N}$に対し、$n=N,m=N+1$ととれば、$d\left(x_{m},x_{n}\right)=d\left(x_{n+1},x_{n}\right)=2\geq1$となるのでコーシー列ではない。
従って$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。