飛び飛びの2項定理
飛び飛びの2項定理
2項定理で飛び飛びのとき次が成り立つ。
2項定理で飛び飛びのとき次が成り立つ。
(1)偶数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\} \](2)奇数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k+1\right)a^{2k+1}b^{n-\left(2k+1\right)}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}-\left(-a+b\right)^{n}\right\} \](3)一般形
\[ \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(n,mk+l\right)a^{mk+l}b^{n-\left(mk+l\right)}=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\omega_{m}^{-jl}\left(a\omega_{m}^{j}+b\right)^{n} \]\(\omega\)は1の\(n\)乗根、
\[ \omega_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}i} \] である。
\[ \omega_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}i} \] である。
(1)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k} & =\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(1+\left(-1\right)^{k}\right)C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}\\ & =\frac{1}{2}\left\{ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}+\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}+\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)\left(-a\right)^{k}b^{n-k}\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k+1\right)a^{2k+1}b^{n-\left(2k+1\right)} & =\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}-\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}\\ & =\left(a+b\right)^{n}-\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}-\left(-a+b\right)^{n}\right\} \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k+1\right)a^{2k+1}b^{n-\left(2k+1\right)} & =\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\left(-1\right)^{k}\right)C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}\\ & =\frac{1}{2}\left\{ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}-\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)\left(-a\right)^{k}b^{n-k}\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}-\left(-a+b\right)^{n}\right\} \end{align*}(3)
\[ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{k}\right)^{m}=n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)} \] が成り立つので、\begin{align*} \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(n,mk+l\right)a^{mk+l}b^{n-\left(mk+l\right)} & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}\delta_{0,\mod\left(k-l,m\right)}\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(n,k\right)a^{k}b^{n-k}\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{k-l}\\ & =\frac{1}{m}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l}\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(n,k\right)\left(a\omega_{m}^{j}\right)^{k}b^{n-k}\\ & =\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\omega_{m}^{-jl}\left(a\omega_{m}^{j}+b\right)^{n} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 飛び飛びの2項定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/demc143p/ |
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中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]
パスカルの法則の一般形
\[
C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right)
\]
2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]