全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
全称命題\(\forall x,P\left(x\right)\)の否定\(\lnot\forall x,P\left(x\right)\)は部分否定となり、
\[ \lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right) \] となる。
存在命題\(\exists x,P\left(x\right)\)の否定\(\lnot\exists x,P\left(x\right)\)は全否定となり、
\[ \lnot\exists x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,\lnot P\left(x\right) \] となる。
(1)部分否定
「全ての\(x\)について\(P\left(x\right)\)が成り立つ」の否定は「ある\(x\)について\(P\left(x\right)\)は成り立たない」となりこれを部分否定という。全称命題\(\forall x,P\left(x\right)\)の否定\(\lnot\forall x,P\left(x\right)\)は部分否定となり、
\[ \lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right) \] となる。
(2)全否定
「ある\(x\)について\(P\left(x\right)\)が成り立つ」の否定は「全ての\(x\)について\(P\left(x\right)\)は成り立たない」となりこれを全否定という。存在命題\(\exists x,P\left(x\right)\)の否定\(\lnot\exists x,P\left(x\right)\)は全否定となり、
\[ \lnot\exists x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,\lnot P\left(x\right) \] となる。
(3)
\[ \lnot\left(\forall x\exists y,P\right)\Leftrightarrow\exists x\forall y,\lnot P \](4)
\[ \lnot\left(\exists x\forall y,P\right)\Leftrightarrow\forall x\exists y,\lnot P \](1)
\begin{align*} \lnot\forall x,P(x) & \Leftrightarrow\lnot\bigwedge_{x}P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\bigvee_{x}\lnot P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right) \end{align*}(1)-2
\(\lnot\forall x,P\left(x\right)\)は「任意の\(x\)について\(P\left(x\right)\)は真である」の否定となる。これは「任意の\(x\)について\(P\left(x\right)\)は真であるとは限らない」と同じであり、「\(P\left(x\right)\)が偽となるようなある\(x\)が存在する」となる。
すなわち、\(\exists x,\lnot P\left(x\right)\)となる。
(2)
\begin{align*} \lnot\exists x,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\lnot\bigvee_{x}P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\bigwedge_{x}\lnot P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x,\lnot P\left(x\right) \end{align*}(2)-2
\(\lnot\exists x,P\left(x\right)\)は「P\(\left(x\right)\)が真となるようなある\(x\)が存在する」の否定となる。これは「P\(\left(x\right)\)が真とある\(x\)が存在しない」と同じであり、「任意の\(x\)について\(P\left(x\right)\)は偽である」となる。
すなわち、\(\forall x,\lnot P\left(x\right)\)となる。
(3)
\begin{align*} \lnot\left(\forall x\exists y,P\right) & \Leftrightarrow\exists x,\lnot\left(\exists y,P\right)\cmt{\because\lnot\left(\forall x,P\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P}\\ & \Leftrightarrow\exists x\forall y,\lnot P \end{align*}(4)
\begin{align*} \lnot\left(\exists x\forall y,P\right) & \Leftrightarrow\forall x,\lnot\left(\forall y,P\right)\cmt{\because\lnot\left(\exists x,P\right)\Leftrightarrow\forall x,\lnot P}\\ & \Leftrightarrow\forall x\exists y,\lnot P \end{align*}ページ情報
タイトル | 全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定 |
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否定同値の否定同値は同値の同値
\[
P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R
\]
LK推論規則での包含関係
\[
\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right)
\]