(1)

\begin{align*} \left[A,B^{n}\right] & =B\left[A,B^{n-1}\right]+\left[A,B\right]B^{n-1}\\ & =B^{n}\sum_{k=1}^{n}\left(B^{-k}\left[A,B^{k}\right]-B^{-\left(k-1\right)}\left[A,B^{k-1}\right]\right)\\ & =B^{n}\sum_{k=1}^{n}\left(B^{-k}\left[A,B\right]\widehat{B}^{k-1}\right)\\ & =\left[A,B\right]\widehat{B}^{n}\sum_{k=1}^{n}\left(B^{-k}B^{k-1}\right)\cmt{\because\left[B,\left[A,B\right]\right]=0}\\ & =\left[A,B\right]\widehat{B}^{n}\sum_{k=1}^{n}B^{-1}\\ & =\left[A,B\right]\widehat{B}^{n-1}\sum_{k=1}^{n}1\\ & =\left[A,B\right]n\widehat{B}^{n-1} \end{align*}

(1)-2

\(n=1\)のとき

\(n=1\)のとき、
\(\left[A^{1},B\right]=1\left[A,B\right]A^{1-1}=\left[A,B\right]\)
となるので成り立つ。

\(n=k\)のとき成り立つと仮定

\(n=k\)のとき成り立つと仮定すると、
\begin{align*} \left[A^{k+1},B\right] & =\left[AA^{k},B\right]\\ & =A\left[A^{k},B\right]+\left[A,B\right]A^{k}\\ & =kA\left[A,B\right]A^{k-1}+\left[A,B\right]A^{k}\\ & =k\left[A,B\right]AA^{k-1}+\left[A,B\right]A^{k}\\ & =\left(k+1\right)\left[A,B\right]A^{k} \end{align*} となるので\(n=k+1\)のときも成り立つ。

-

故に数学的帰納法より与式は成り立つ。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \left[A,B^{n}\right] & =-\left[B^{n},A\right]\\ & =-n\left[B,A\right]B^{n-1}\\ & =n\left[A,B\right]B^{n-1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

\begin{align*} \left[f\left(A\right),B\right] & =\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}A^{k},B\right]\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}\left[A^{k},B\right]\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}k\left[A,B\right]A^{k-1}\\ & =\left[A,B\right]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(0\right)}{\left(k-1\right)!}A^{k-1}\\ & =\left[A,B\right]f'\left(A\right) \end{align*}

(4)

(3)より、
\begin{align*} \left[A,f\left(B\right)\right] & =-\left[f\left(B\right),A\right]\\ & =-\left[B,A\right]f'\left(B\right)\\ & =\left[A,B\right]f'\left(B\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(5)

\begin{align*} \frac{d}{d\lambda}e^{\lambda A}e^{\lambda B} & =Ae^{\lambda A}e^{\lambda B}+e^{\lambda A}Be^{\lambda B}\\ & =Ae^{\lambda A}e^{\lambda B}+\left(\left[e^{\lambda A},B\right]+Be^{\lambda A}\right)e^{\lambda B}\\ & =Ae^{\lambda A}e^{\lambda B}+\left(\lambda\left[A,B\right]e^{\lambda A}+Be^{\lambda A}\right)e^{\lambda B}\\ & =\left(A+B+\lambda\left[A,B\right]\right)e^{\lambda A}e^{\lambda B} \end{align*} となる。
これより、形式的に変形すると、
\[ \frac{1}{e^{\lambda A}e^{\lambda B}}d\left(e^{\lambda A}e^{\lambda B}\right)=\left(A+B+\lambda\left[A,B\right]\right)d\lambda \] となり、この微分方程式を解くと
\[ e^{\lambda A}e^{\lambda B}=ce^{A+B+\frac{1}{2}\lambda^{2}\left[A,B\right]},c\in\mathbb{R} \] となる。\(\lambda=0\)のときより\(c=1\)となり、
\[ e^{\lambda A}e^{\lambda B}=e^{A+B+\frac{1}{2}\lambda^{2}\left[A,B\right]} \] \(\lambda=1\)を代入すると
\[ e^{A}e^{B}=e^{A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]} \] となり与式が成り立つ。

(6)

(5)より、
\begin{align*} e^{A+B} & =e^{A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]}e^{-\frac{1}{2}\left[A,B\right]}\\ & =e^{A}e^{B}e^{-\frac{1}{2}\left[A,B\right]} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(6)-2

\begin{align*} \frac{d}{d\lambda}e^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B} & =Be^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B}+e^{\lambda B}Ae^{\lambda A}e^{A+B}\\ & =Be^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B}+\left(\left[e^{\lambda B},A\right]+Ae^{\lambda B}\right)e^{\lambda A}e^{A+B}\\ & =Be^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B}+\left(\lambda\left[B,A\right]e^{\lambda B}+Ae^{\lambda B}\right)e^{\lambda A}e^{A+B}\\ & =\left(A+B+\lambda\left[B,A\right]\right)e^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B} \end{align*} これより、
\[ \frac{d\left(e^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B}\right)}{e^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B}}=\left(A+B-\lambda\left[A,B\right]\right)d\lambda \] となるので、微分方程式を解くと、
\[ e^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B}=e^{\left(A\lambda+B\lambda-\frac{1}{2}\lambda^{2}\left[A,B\right]+C\right)} \] となる。
\(C\)は\(\lambda\)によらない積分定数である。
\(C\)を求めるため\(\lambda=0\)を代入して、
\[ C=A+B \] となるので、
\[ e^{\lambda B}e^{\lambda A}e^{A+B}=e^{\left(A\lambda+B\lambda-\frac{1}{2}\lambda^{2}\left[A,B\right]+A+B\right)} \] となる。
\(\lambda=-1\)を代入して整理すると、
\[ e^{A+B}=e^{A}e^{B}e^{-\frac{1}{2}\left[A,B\right]} \] となり与式は成り立つ。

(7)

\begin{align*} e^{A}Be^{-A} & =\left(\left[e^{A},B\right]+Be^{A}\right)e^{-A}\\ & =\left(\left[A,B\right]e^{A}+Be^{A}\right)e^{-A}\\ & =B+\left[A,B\right] \end{align*}

(8)

\begin{align*} e^{A}B^{n}e^{-A} & =\left(e^{A}Be^{-A}\right)^{n}\\ & =\left(B+\left[A,B\right]\right)^{n} \end{align*}