重心は中線を2:1に内分
重心は中線を2:1に内分
重心は位置は中線を2:1に内分する位置である。
重心は位置は中線を2:1に内分する位置である。
直線\(AG\)と直線\(BC\)との交点を\(P\)とする。
\begin{align*} \overrightarrow{AG} & =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\\ & =\frac{2}{3}\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\\ & =\frac{2}{3}\overrightarrow{AP} \end{align*} これより、\(\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}\)となるので\(\left|AG\right|:\left|GP\right|=2:1\)となる。
\begin{align*} \overrightarrow{AG} & =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\\ & =\frac{2}{3}\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\\ & =\frac{2}{3}\overrightarrow{AP} \end{align*} これより、\(\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}\)となるので\(\left|AG\right|:\left|GP\right|=2:1\)となる。
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タイトル | 重心は中線を2:1に内分 |
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5心(重心・垂心・内心・外心・傍心)の位置
\[
\boldsymbol{H}=\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A\tan B\tan C}
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
3角形の角と対辺の大小関係
\[
A<B\Leftrightarrow a<b
\]
円に内接する4角形の余弦
\[
\cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)}
\]